Лабораторные работы по электротехнике

Электротехника
Примеры расчета цепей
Лабораторные работы
Переходные процессы в линейных цепях
Вынужденные колебания
Оптика
Определение удельной теплоемкости воздуха
Гироскоп
Теплопроводность тел
 

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1.9

ИЗМЕРЕНИЕ МОДУЛЯ ЮНГА МЕТОДОМ СТОЯЧИХ ВОЛН В СТЕРЖНЕ

Цель работы:

1.Изучить условия возникновения продольной стоящей волны в упругой среде.

2.Измерить скорость распространения продольных упругих волн в стержнях из различных материалов.

3.Измерить модуль Юнга различных материалов.

ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ РАБОТЫ

Процесс распространения колебаний в пространстве называется волной. Волны, возникающие в упругой среде (твердой, жидкой или газообразной), называются упругими волнами. При распространении упругой волны частицы среды не вовлекаются в поступательное движение, а только совершают колебания около своих положений равновесия. Уравнением волны называют функцию , определяющую смещение частицы среды из положения равновесия с координатами , в момент времени t. В случае, если направление колебаний частиц среды совпадает с направлением распространения волны, волны называются продольными, если направление колебаний частиц перпендикулярно направлению распространения волны – поперечные.

Геометрическое место точек, до которых доходит волна к моменту времени t, называется волновым фронтом. В случае, если волновой фронт имеет форму плоскости волна называется плоской, сферы – сферической.

Получим уравнение плоской волны, распространяющей вдоль оси х. Предположим, что ее источник находится в начале координат и совершает гармонические колебания с частотой   по закону , где  и , соответственно амплитуда и начальная фаза колебаний.

При распространении колебаний от источника вдоль оси х отклонение   частицы среды от положения равновесия с координатой х определяется уравнением

   (1)

где   - время, в течение которого колебания от источника дойдут до точки среды с координатой х.

Если  - скорость распространения колебаний (волны), то , где знак “+” отвечает волне, распространяющейся в положительном направлении оси х, а знак “-” – в отрицательном. Тогда, принимая во внимание , что

  

где Т – период колебаний, - длина волны,  - волновое число, перепишем (1) в виде

  (2)

Функция (2) и представляет собой искомое уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль оси х, причем знак “-” соответствует волне, распространяющейся в положительном направлении оси х, знак “+” в отрицательном.

Если в среде распространяется одновременно несколько волн, то колебания частиц среды оказываются геометрической суммой колебаний, которые совершали бы частицы среды при распространении каждой из волн в отдельности. Это справедливо для волн любой природы и получило название принципа суперпозиции. В случае, когда колебания, обусловленные отдельными волнами, в каждой точке среды обладают постоянной разностью фаз, такие волны называют когерентными. В случае наложения двух и более когерентных волн с одинаковыми направлениями колебаний частиц, наблюдается явление перераспределения колебаний в пространстве с образованием устойчивой картины чередования минимумов и максимумов амплитуд колебаний. Такое явление называется интерференцией.

При наложении двух когерентных плоских волн с одинаковыми амплитудами, направленными навстречу друг к другу, в результате их интерференции возникает колебательный процесс, называемый стоячей волной

Найдем уравнение плоской стоячей волны в однородном стержне длинной l, закрепленном в середине, а также спектр его собственных частот.

 


Пусть на торце стержня с координатой х=0 созданы гармонические колебания (источник колебаний). Тогда вдоль стержня, лежащего на оси х (рис.1.9.1) будет распространятся упругая плоская волна

  (3)

которая затем отражается от свободного торца стержня с абсциссой х=l, так что в каждой точке волнового поля между торцами будет складываться колебания в падающей и отраженной волнах. Уравнение отраженной волны, распространяющейся от торца  противоположно направлению оси , имеет вид

   (4)

где ,  - константа, значение которой должно обеспечивать условие закрепленности стержня в его середине.

Складывая уравнения (3) и (4) с учетом того, что , находим уравнение волнового процесса в стержне

  (5)

Функция (5), также как (3) и (4), имеет смысл смещения частицы среды от ее равновесного положения с абсциссой х в момент времени t. Однако в отличие от волновых процессов, описываемых функциями (3) и (4), в которых каждая точка среды колеблется с одинаковой амплитудой , функция (5) описывает процесс в котором каждая частица среды колеблется с амплитудой, зависящей от координаты х:

  (6)

Такой колебательный процесс частиц среды называют стоячей волной. Функцию (5) называют уравнением плоской стоячей волны.

Используя выражение (6), мы можем теперь выразить условие закрепленности стержня в его середине равенством

  (7)

означающим неподвижность частиц поперечного сечения стержня с абсциссой . Тогда из (6) с учетом (7) вытекает, что

  

и, следовательно, для выполнения условия закрепленности стержня в его середине достаточно положить

  (8)

Подберем теперь частоту колебаний источника так, чтобы отраженная волна вызывала в точке с абсциссой х=0, где расположен источник, колебания в фазе с ними, т.е.

  (9)

где n=0,1,2,… . Учитывая (8) и то, что , из (9) получаем

  (10)

Ясно, что при заданной длине стержня l, уравнение (10) выполняется лишь для определенного набора частот , называемых собственными частотами стержня, закрепленного посередине. Учитывая, что  из (10) получаем формулу для набора (спектра) собственных частот

  n=0,1,2,3… (11)

Из (11) вытекает, что собственные частоты кратны частоте

  (12)

называемой основной частотой. В акустике частоту  называют также частотой основного тона, тогда как , при , - частотами обертонов.

Легко видеть, что при выполнении равенств (8) и (10), приводящих к частоте (11), уравнения (5) и (16) перепишутся в простом виде

   (13)

  (14)

Точки, в которых амплитуда стоячей волны А(х) обращается в нуль, называется узлами стоячей волны. Точки, колеблющиеся с максимальной амплитудой , называются пучностями стоячей волны. Тогда из (14) с учетом (11) вытекает, что в середине стержня реализуется узел , а на обоих торцах стержня – пучности

Таким образом, при совпадении частоты источника с любой из собственных частот стержня (11), амплитуда колебаний точек его торцов увеличивается в два раза по сравнению с амплитудой колебаний источника. Это явление по аналогии со случаем вынужденных колебаний называют резонансом.

Архитектура Зимнего дворца Санкт-Петербурга