Лабораторные работы по электротехнике

Электротехника
Примеры расчета цепей
Лабораторные работы
Переходные процессы в линейных цепях
Вынужденные колебания
Оптика
Определение удельной теплоемкости воздуха
Гироскоп
Теплопроводность тел
 

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

РЕКУРРЕНТНЫЙ МЕТОД

Рекуррентные методы основаны на классическом методе суммирования многократно отраженных лучей. Они обеспечивают возможность решения многих практических вопросов с необходимой точностью. Однако, они не обладают достаточной общностью, неудобны для расчета интерференции в поглощающих слоях. Кроме того, число необходимых уравнений быстро растет с числом слоев (для расчета отражения света от поверхности с 3-слойной пленкой составляется 5 уравнений, с 11-слойной – 21 уравнение и т.д.) [10]. Ниже мы изложим основы рекуррентного метода синтеза покрытий, который был разработан одним из первых. Не умаляя общности, мы проведем рассмотрение без детализации возможного поглощения в пленках. Как уже говорилось выше, для учета поглощения  необходимо заменить действительный показатель преломления на комплексный. При этом теряется наглядность и простота метода.

Рассмотрим [10] отражение света в системе, состоящей из двух прозрачных сред с показателями преломления п1 и п3,, разделенных одним тонким слоем с показателем преломления п2. Положим, что слой однородный, непоглощающий, изотропный, огра­ниченный параллельными плоскостями; толщина его h2 соизмерима с длиной световой волны (см рис. 1.).

Рис.1.2.

Плоская волна с амплитудой Е0 = 1 (интенсивность I = 1) падает по нормали к поверхности границы раздела п1 п2 от которой частично отражается. Амплитуда отраженного луча  равна r12 = (n1-n2)/(n1+n2).

Луч 2, вошедший в слой, отразившийся от второй гра­ницы раздела и вышедший обратно в первую среду, име­ет амплитуду 12 r 23 21е – i2 . Здесь 12, r 23, 12, 23 - коэф­фициенты Френеля для двух границ раздела. После дву­кратного прохождения слоя лучом II, между лучами / и // появляется разность хо­да, равная  2n2h2 , 2 = 4n2h2/ . По фазе лучи lull отличаются (1.18) на величину 2 = 4n2h2/ поскольку луч // дважды проходит слой. Луч.111 выходит в первую среду с амплитудой 12 r 23 2 r 21 21е –2 i2 Аналогично определяется амплитуда лучей IV и т. д. Амплитуда результирующей отраженной волны получается сум­мированием бесконечного ряда: / + // + /// + .

r13=r12+r 23е– i2 +r 23 2r 21е –2 i2 +… (1.9)

Ряд, начиная со второго члена, представляет собой беско­нечную, убывающую прогрессию, где постоянный член равен r 23 (1- r 12)2 е – i2, а знаменатель прогрессии r12  r 23 е – i2 Окончательно получаем после суммирования геометрического ряда

r13=r12+{r23(1-r12)2е– i2}/(1+r23r12е– i2) +(r12+r23еi2}/(1+ +r23 r12е– i2)  (1.10)

Аналогичное суммирование бесконечного ряда лучей, прошед­ших в.среду дает амплитуду результирующей волны б13. Бесконечно убывающая прогрессия со знаменателем  r21  r 23е – i2 дает в результате суммирования амплитуду прошедшей волны

13 = [ 12  23 е – i2 ]/ [1 + r 23 r 12е – i2 (1.11)

Если в среде присутствует поглощение, т.е. показатель преломления комплексный, то поглощение пленки А может быть найдено из условия нормировки 1=R+T+A . 

Проиллюстрируем расчет отражением от однослойной непоглощающий пленки. Поскольку рассматриваемая система состоит из непоглощающих сред, ее показатели преломления вещественны и для расчетов удобно пользоваться абсолютными значениями коэффициентов Френеля. Коэффициент отражения однослойной пленки R13 будет равен: 

R13 ={r122 +r232 +2r12 r23 cos(-12 + 23 – 4n2h2/)}/

/{1 + r122r232 + 2r12r23 cos(12-23–4n2h2/)}  (1.12)

Формула рассчитана на отражение света по нормали с учетом много­кратных отражений от границ раздела. Характер отраженного света определяется интерференцией света в пленке и зависит от разности хода, которую вносит оптическая толщина пленки на пути лучей. Последняя будет различна для лучей различной длины волны. Анализ формулы показывает, что поскольку показатели преломления п1 п2 и п3 имеют постоянные значения, то коэффи­циент отражения R13 будет периодической функцией аргумента (12 - 23 – 4n2h2/) содержащего две переменные  величины: оптическую толщину пленки п2h2 и длину волны . Поэтому изме­нение R13 может быть следствием изменения оптической толщины пленки или длины волны падающего света.

Рассмотрим отражение на фиксированных длинах волн, когда длина волны  по­стоянная, а оптическая толщина пленки п2h2 — переменная (напри­мер, клиновидная пленка). В отраженном монохроматическом свете, в пленке переменной толщины можно наблюдать ряд чередующихся темных и светлых полос, имеющих окраску, соответствующую длине волны . Положение экстремальных значений R13, согласно соответствует значениям оптической толщины пленки п2h2 кратным  /4 падающего света:

п2h2 = k  /4 (k= 1,2,3,...), (1.13)

Если  п2 < п3 (показатель преломления пленки меньше, чем у подложки), минимумы R 13 будут соответствовать оптическим толщинам пленки, кратным нечетному числу  /4, когда п2h2=(2 k+1) /4 (k= 1,2,3,...). Положение максимумов будет соответствовать  четному числу  /4, когда п2h2=2 k /4 (k= 1,2,3,...).

Если п2 > п3 (показатель преломления пленки больше, чем у подложки), имеет место обратное соотношение. Положение макси­мумов коэффициента отражения n13 будет соответствовать оптиче­ским толщинам пленки, определяемым вторым рядом, а положение минимумов - первым рядом.

Если свет содержит все длины волн и оптическая толщина пленки п2h2 — постоянная, то в отраженном свете также будет наблюдаться появление ряда максимумов и минимумов для длин волн

 = 4 п2h2 / k (к -1,2,3,...),  . (1.14)

Если п2 < n3, то первый и все последующие минимумы будут иметь место для длин волн  = 4 п2h2 / (2k+1) (к -1,2,3,...),

Максимумы располагаются в местах, соответствующих длинам волн, определяемым рядом   = 4 п2h2 / 2k (к -1,2,3,...),

При п2 > п3 наблюдается обратное соотношение  и положение первого и всех последующих максимумов определяется рядом (13), в то время как положение минимумов — рядом (14).

Экстремальные значения коэф­фициента отражения R13 соответственно равны: 

R13=(n22 –n3)/ (n22 –n3). (1.15)

Выражение  определяет минимальные значения R13 как для условия, когда — постоянная, так и для условия , когда п2h2 — постоянная, если п2<п3. При этом выражение (15) характери­зует максимальное значение коэффициента отражения, равное отра­жению от подложки при отсутствии слоя, каков бы ни был показа­тель преломления последнего.

Рис.1.3

На рис. 1.3 приведен пример спектра отражения однослойного покрытия при различных значениях показателя преломления пленки. В качестве подложки выбран селенид цинка. В качестве пленок с оптической толщиной /4 = 1 мкм выбраны пленки германия, кремния, фторида свинца и фторида натрия

Рассмотрим рекуррентный метод применительно к многослойным пленкам. Пусть систем представляет собой прозрачную подложку с коэффициентом преломления nm, на поверхности которой имеется пленка, состоящая из нескольких слоев с различной оптической толщиной и разными показателями преломления. Рекуррентный метод основан на наглядном методе суммирова­ния многократно отраженных лучей, уже использованном для рас­чета отражения света от поверхности с однослойной пленкой. Метод суммирования многократно отраженных лучей хотя и не обладает достаточной общностью (например, он неудобен для расчета интер­ференции в поглощающих слоях), однако вполне обеспечивает воз­можность решения многих практических вопросов с необходимой точностью.

Расчет коэффициентов Френеля r13 или 13 производится как для обычной однослойной пленки, находящейся между двумя средами иного показателя преломления. Затем поверхность с пленкой заменяется некоторой эффективной поверхностью, характеризуемой рассчитанными коэффициентами г13 и 13, играющими роль френелевских коэффициентов г12 и 12 для одной поверхности раздела. Этот прием повторяется до тех пор пока не будет добавлен последний слой многослойного покрытия. Так, например, двухслойная пленка между двумя полубесконечными средами с показателями преломле­ния n1 и n4 окончательно будет иметь всего две границы раздела п1/п3 и n3/n4, вместо трех п1/п2 у п2/п3 и п3/п4..

Архитектура Зимнего дворца Санкт-Петербурга