Лабораторные работы по электротехнике

Графика
Дизайн

Токамак

Билеты
Типовая

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 17

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ И ПРОВЕРКА ЗАКОНА СОХРАНЕНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ НА ПРИМЕРЕ МАЯТНИКА МАКСВЕЛЛА

Приборы и принадлежности: маятник Максвелла, угольник, сменные кольца, штангенциркуль, микрометр.

Цель работы: определение момента инерции маятника Максвелла и экспериментальная проверка закона сохранения и преобразования механической энергии.

Краткая теория

Любое движение твердого тела может быть представлено как сумма двух независимых движений: вращательного вокруг неподвижной оси и поступательного движения центра масс. Динамические характеристики поступательного движения определяются массой тела и силой, действующей на него, а вращательного – моментом инерции и вращающим моментом (моментом сил).

Моментом инерции материальной точки Ii относительно оси вращения называется физическая величина, равная произведению ее массы mi на квадрат расстояния li от оси вращения до материальной точки: Ii=mili2, i - номер точки.

Момент инерции твердого тела равен сумме моментов инерции материальных точек, на которые мысленно разбито это тело:

Один из способов определения моментов инерции основан на использовании физических закономерностей маятника Максвелла, который представляет собой колебательную систему, состоящую из диска (тела вращения), неподвижно закрепленного на оси, которая подвешена на двух параллельных нитях. Если накрутить нить на ось (рис. 17.1, а), подняв маятник на высоту h, а затем его отпустить, то он под действием силы тяжести начнет опускаться и его потенциальная энергия будет преобразовываться в кинетическую энергию поступательного и вращательного движения. В крайнем нижнем положении, когда скорость поступательного движения почти ''мгновенно'' становится равной нулю, возникает дополнительная сила, которая воспринимается системой как ''рывок'' (рис. 17.1, б). Но вращательное движение маятника не прекращается, нить опять наматывается на ось, и маятник поднимается на высоту h1<h, так как часть энергии затрачивается на деформацию нити и ее трение об ось (рис. 17.1, в).

Рис. 17.1

Затем весь цикл повторяется, но маятник теперь будет вращаться в другом направлении. Таким образом, маятник совершает затухающие колебания в вертикальной плоскости (поступательное движение).

При опускании маятник движется с постоянным линейным а и угловым e ускорениями и его движение описывается уравнениями

  и ,

где h – высота подъема маятника (см. рис. 17.1 а, б), j - угол поворота маятника, u0 и  - соответственно линейная и угловая начальные скорости. Из этих уравнений при начальных условиях u0=0 и =0 получаем

  и 

Если учесть, что за один оборот маятник опускается на  где d=dо+2dн (dо - диаметр оси; dн - диаметр нити, рис. 17.2) и поворачивается на угол  то при опускании с высоты h маятник совершит  оборотов и повернется на угол  Окончательно будем иметь

  , (17.1)

   (17.2)

Подпись:  

Рис. 17.2












Рис. 17.2

Для определения момента инерции маятника используем основной закон динамики вращательного движения М=I·e, закон поступательного движения центра масс системы  и уравнение скорости центра масс твердого тела относительно мгновенного центра вращения  (см. рис. 17.2). Последнее уравнение после дифференцирования (с учетом uн=0) принимает вид:

Так как  то  Применительно к маятнику Максвелла (см. рис. 17.1) эти законы движения запишутся так:

  (17.3)

где Fн – сила натяжения нити; ; ac - ускорение центра масс маятника; ec - угловое ускорение маятника вокруг оси С; I - момент инерции маятника. Решив эту систему относительно I, получим

  (17.4)

По этой формуле и вычисляется момент инерции маятника Максвелла.

На основании закона сохранения и преобразования механической энергии применительно к маятнику Максвелла имеем

  (17.5)

Справедливость этого уравнения проверяется на опыте.

Описание установки

Подпись:  
Рис. 17.2 























Рис. 17.3
Маятник Максвелла (рис. 17.3) состоит из основания 1, на котором закреплена колонка 2. На колонке неподвижно установлен верхний кронштейн 7 со смонтированными на нем электромагнитом 6, фотоэлектрическим датчиком 5, который включает секундомер при начале движения маятника, и воротком 8, позволяющим регулировать длину нити, а значит и высоту опускания маятника h. Нижний кронштейн 3 с закрепленным на нем вторым фотоэлектрическим датчиком 4, который выключает секундомер, когда маятник опускается в крайнее нижнее положение, можно перемещать вдоль колонки и фиксировать в любом положении. На двух нитях 9 к верхнему кронштейну подвешен маятник 10, состоящий (см. рис. 17.2) из оси 11, выполненной как одно целое с роликом 12. На ролик плотно насаживаются сменные кольца 13, с помощью которых меняется масса маятника, а значит, и его момент инерции. На колонке нанесена шкала, по которой отсчитывают высоту опускания маятника. 

На основании установлен блок управления, на котором располагаются:

клавиша ''Сеть'' 15 - нажатие клавиши включает питание установки и подает напряжение на электромагнит;

клавиша ''Сброс'' 17 - нажатие клавиши обнуляет секундомер;

клавиша ''Пуск'' 16 - нажатие клавиши обесточивает электромагнит;

секундомер 14 - табло, на котором высвечивается время опускания маятника.

Порядок выполнения работы

Упражнение № 1. Определение момента инерции

маятника Максвелла

1. Измерьте наружные диаметры оси dо, ролика dр, кольца dк. Каждый диаметр измерять при пяти различных положениях штангенциркуля. Данные замеров занесите в табл. 17.1. Диаметр нити измерить микрометром.

2. Запишите массы оси mо, ролика - mр, кольца - mк (величины масс выбиты на элементах маятника) и вычислите общую массу маятника m=mо+mр+mк. Записать m в табл. 17.1. Абсолютную погрешность при измерении каждой массы принять Dmi=±0,5 г.

3. Отрегулируйте длину нитей и зафиксируйте ее воротком таким образом, чтобы кольцо маятника, повиснув на нитях, перекрывало световой луч нижнего фотоэлектрического датчика, а ось маятника была строго горизонтальна (параллельна основанию установки).

4. Подключите питание к установке, нажав клавишу ''Сеть''. При этом должны засветиться табло секундомера и загореться лампочки обоих датчиков. При несрабатывании какого-либо элемента сообщите об этом лаборанту.

5. Вращая и поднимая маятник, намотайте нити на ось маятника, обращая внимание на то, чтобы они наматывались равномерно, без перекосов, один виток к другому.

6. Зафиксируйте маятник в электромагните, обращая внимание на натяжение нити. Для ослабления натяжения поверните маятник в направлении его движения на угол »5°.

Подпись:  
Рис. 17.3








Рис. 17.4
7. По шкале на колонке (рис. 17.4) определите с помощью угольника положение  нижнего края кольца. По указателю на нижнем кронштейне (либо также с помощью угольника) определите положение нижнего края кольца в нижнем положении маятника и вычислите высоту поднятия маятника  Записать h в табл. 17.1. Ошибку измерения высоты принять равной мм.

8. При необходимости нажмите на клавишу ''Сброс'' и обнулите табло.

9. Нажмите на клавишу ''Пуск''. При этом электромагнит обесточится, маятник начнет опускаться, а секундомер отсчитывать время. При достижении маятником нижнего положения секундомер автоматически остановится.

10. Остановите рукой маятник и замеренное время запишите в табл. 17.1. Замеры выполните 5 раз, повторяя пп. 5-10.

 Таблица 17.1

m=… , h=… , dн=… .

Номер

замера

dо,

мм

dр,

мм

dк,

мм

t,

c

1

2

3

4

5

среднее

11. Используя любой замер из табл. 17.1, выполните оценочный расчет а и I по формулам (17.1) и (17.4).

12. При оформлении отчета вычислите средние значения измеренных величин, определите абсолютную и относительную погрешности результата измерений I. В данном случае абсолютную погрешность при определении момента инерции маятника вычислите по формуле , где I - момент инерции, полученный на опыте; - момент инерции, вычисленный по формулам

Результаты вычислений занесите в табл. 17.2

 Таблица 17.2

Величина

m

t

I

DE

Среднее

значение

Абсолютная

погрешность

Относительная погрешность, %

Упражнение № 2. Проверка закона сохранения

и преобразования механической энергии

1. Используя любой замер из табл. 17.1, по формуле (17.2) выполните оценочный расчет u и w. Проверьте справедливость формулы (17.5).

2. При оформлении отчета аналогичные вычисления сделайте для средних значений и проверьте справедливость закона сохранения и преобразования энергии по формуле (17.5).

3. Погрешность при проверке закона определите по формуле

Результаты расчетов занесите в табл. 17.2. Сделайте вывод из результатов опыта.

Техника безопасности

При выполнении работы соблюдаются общие требования техники безопасности в лаборатории механики.

Лабораторная работа №4

Описание физических процессов в приближении сплошной среды

Краткие сведения

(описание физических процессов в приближении сплошной среды)

Наиболее удобные способы наглядного изображения электрического поля связаны с двумя взаимодополняющими картинами: силовых линий и линий равного потенциала.

Для построения эквипотенциальных линий (в трехмерном случае ¾ поверхностей) поля, созданного системой зарядов, можно воспользоваться принципом суперпозиции: потенциалы полей, созданных разными зарядами, алгебраически складываются. Поскольку потенциал поля, созданного зарядом q на расстоянии r от него, равен , то легко определить общий потенциал в любой точке.

В задачах моделирования достаточно стандартная проблема ¾ построение линий (поверхностей), вдоль которых некоторая функция имеет одинаковое значение, называемых изолиниями (изоповерхностями). Это очень распространенная задача визуализации характеристик некоторого скалярного поля в приближении сплошной среды.

Пусть поле создается системой точечных электрических зарядов Q1, . . . Qp с координатами, соответственно, (x1,y1), . . . (xp,yp). Типичная процедура построения изолиний на экране компьютера состоит в следующем. Выберем по осям x и y некоторые шаги hx и hy и покроем плоскость сеткой, образованной прямыми, параллельными осям x и y и отстоящими друг от друга на расстояниях hx и hy соответственно. Точки пересечения этих прямых — узлы сетки. Пронумеруем их так: начало координат (0,0), следующий по оси x вправо — (0,1), влево — (0,-1); по оси y вверх — (1,0), вниз (-1,0) и т.д. Значения потенциала, создаваемого системой зарядов Q1, . . . Qp в узле (i,k), согласно принципу суперпозиции, таково (обратим внимание, что здесь и ниже i — номер строки, k — столбца сетки):

  (7.22)

Ограничимся прямоугольной областью в плоскости xy: [-mhx, mhx] по оси x и [-nhy, nhy] по оси y. В этой области (2m+1)×(2n+1) узлов. Вычислим значения потенциала в каждом из них по указанным формулам. В результате получим матрицу значений потенциала.

Фиксируем некоторое значение потенциала и построим изолинию, соответствующую этому значению. Для этого проходим, к примеру, по i-ой горизонтальной линии сетки и ищем среди ее узлов такие соседние, значения потенциала в которых «захватывают»   между собой; признаком этого может служить выполнение неравенства (Fi k - ) × (Fi, k+1 -) < 0 . Если такая пара узлов найдена, то координату точки, в которой F =, найдем приближенно с помощью линейной интерполяции:

  (7.23)

Найдя в данной горизонтали все такие точки, переходим к следующей горизонтали, пока не исчерпаем их все. Для этого надо совершить двойной циклический проход: во внешнем цикле перебирать i от -n до +n, во внутреннем перебирать k от - m до +m.

После этого следует аналогично заняться поиском нужных точек на вертикальных линиях сетки. Детали процедуры очевидны; формулы, аналогичные (7.23), имеют вид:

   (7.24)

После прохождения всех горизонтальных и вертикальных линий сетки находятся все те точки на этих линиях, в которых потенциал равен . Проведя — мысленно или на экране (или на бумаге) — кривую, плавно проходящую через ближайшие точки (прибегая, например, к интерполяции сплайнами), получаем искомую изолинию (разумеется лишь в том случае, если значение  выбрано разумно и такая линия есть в пределах рассматриваемой области). Затем берем другие значения  и повторяем указанную процедуру, получая таким образом семейство изолиний.

Один из способов построения объемной картины электрического поля состоит в том, чтобы построить системы изолиний в нескольких параллельных равноотстоящих плоскостях для одного и того же этого набора значений потенциала. Квазитрехмерная картина совокупности указанных плоскостей с изображенными на них изолиниями создает представление об объемной структуре электрического поля. 

Для построения изолиний поля, созданного однородно заряженными нитями, пластинами, можно их представить как совокупности большого числа одинаковых «точечных зарядов», в совокупности воспроизводящих форму нити или пластины.

 

Процесс теплопроводности возникает если тело неоднородно нагрето. Простейшая для изучения теплопроводности система — линейный однородный стержень. В простой модели боковая поверхность стержня считается теплоизолированной, т.е. через нее нет обмена теплом с окружающей средой. 

 

 


Рис.7.5. К вопросу о теплопроводности стержня

Обозначим температуру стержня в точке с координатой х в момент времени t через u(x,t). Уравнение теплопроводности имеет вид

  (7.25)

где а ¾ коэффициент температуропроводности, зависящий в первую очередь от вещества, из которого сделан стержень.

Уравнение теплопроводности сопровождается начальными и краевыми условиями, делающими постановку задачи физически однозначной. Начальное условие задает распределение температуры в стержне в начальный момент времени (считаем его равным нулю):

u(x,0) = f(x). (7.26)

Краевые условия (их должно быть в данном случае два) указывают, в простейшем варианте, какая температура поддерживается на концах стержня:

  (7.27)

Моделирование процесса теплопроводности связано с дискретизацией как временного изменения температуры, так и пространственного. Если для пространственных производных использовать простейшие центрально-разностные аппроксимации, а по времени — схему Эйлера, то величины uik = u(tk,xi) находятся из системы линейных алгебраических уравнений

 

, (7.28)

(k = 0,1, ... ; i = 1,2, ..., n-1) ¾ для внутренних узлов пространственной сетки; в силу начального условия  Шаг по времени обозначен Dt, по пространству — Dх.

Описанный метод устойчив при выполнении условия

  (7.29)

Это следует учитывать, выбирая шаги по времени и пространству.

Существенно более устойчива следующая неявная схема второго порядка (схема Кранка-Николсона):

. (7.30)

Это — система линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей. Для ее решения наиболее эффективен метод прогонки.

Другие численные схемы решения одномерной задачи теплопроводности можно найти в специальной литературе.

Задачи