Решение контрольной работы по математике. Вычисление интегралов, матриц, функций


 Emporio Armani мужские    часы

Emporio Armani мужские часы

Гуманитарные науки

У нас студенты зарабатывают деньги

 Дипломы, работы на заказ, недорого

Дипломы, работы на заказ, недорого

 Cкачать    курсовую

Cкачать курсовую

 Контрольные работы

Контрольные работы

 Репетиторы онлайн по английскому

Репетиторы онлайн по английскому

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

Контрольная работа Вычисление криволинейных интегралов 1-го рода Криволинейный интеграл II рода Поверхностный интеграл 1 рода второго рода Вычисление длины дуги кривой Решение примерного варианта контрольной работы

Поверхностный интеграл второго рода

К понятию поверхностного интеграла 2-го рода приводит физическая задача о вычислении потока жидкости через некоторую поверхность S. При этом, в каждой точке поверхности S задаётся векторная функция (x,y,z) скорости жидкости.

Поверхность S называется двусторонней, если нормаль к поверхности при обходе по любому замкнутому контуру, лежащему на поверхности S, возвращается в первоначальное положение. Сторона поверхности S задаётся выбором направления нормали к поверхности, в этом случае поверхность называется ориентированной. Поверхностный интеграл 2-го рода имеет вид

где - скалярное произведение, в котором - единичный вектор нормали к заданной стороне поверхности S в произвольной точке (S - поверхность интегрирования). Применяется и другое обозначение векторной функции, а именно . Если векторные функции задать своими координатами

(P(x, у, z), Q(x, у, z), R(x, y, z)), (cos α, cos β, cosγ), то поверхностный интеграл 2-го рода можно записать в одной из следующих форм:

Если уравнение поверхности задано в виде z= f(x, у) и поверхность S взаимнооднозначно проектируется на координатную плоскость хОу в область хOу, то интеграл (45) можно вычислить по расчетной формуле

где запись

означает, что после вычисления скалярного произведения переменную z необходимо заменить на f(x, у).

Единичный вектор нормали  вычисляется по формуле:

 Коэффициент при орте  в формуле (47) определяет косинус

В формулах (47) и (48) выбирается знак «плюс», если угол γ между осью Oz и вектором - острый; знак «минус», если этот угол - тупой.

Формулы (46) - (48) реализуют метод вычисления поверхностного интеграла, который называется методом проектирования на одну из координатных плоскостей.

Свойства поверхностных интегралов 2-го рода такие же, как у поверхностных интефалов 1-го рода, за исключением одного - при изменении стороны поверхности интеграл (45) меняет знак.

Пример 4.

 Вычислить поверхностный интеграл 2-го рода по внешней боковой стороне цилиндра , лежащей в первом октанте и ограниченной плоскостями  х = 0,5, х = 1, у =0,5, причём 0,5 < х < 1, у > 0,5.

Векторная функция

РЕШЕНИЕ

Заданная поверхность взаимно однозначно проектируется на плоскость хОу, причём область Dху - квадрат 

По условию задачи угол γ - острый, поэтому в формулах (47), (48) выбираем знак «плюс».

Рис.10 - к примеру 4

Уравнение поверхности. Вычисляем формулы (47) и (48) и результат подставляем в (46):

Область интегрирования D задана уравнениями границ. По заданным уравнениям нужно нарисовать кривые или прямые линии, которые образуют замкнутую область D. Затем нужно выбрать порядок интегрирования и применить формулу (8) или (9), как это выполнено в примере 1. Достаточно выполнить интегрирование только по одной из двух формул.

Вычислить с помощью тройного интеграла обьём тела, ограниченного указанными поверхностями. Сделать рисунок данного тела и его проекции на плоскость хОу

Если уравнение поверхности не содержит одну из трёх независимых переменных, это является признаком того, что поверхность - цилиндрическая, с образующей, параллельной оси отсутствующей переменной.

Заданное уравнение при этом -уравнение направляющей линии.

Уравнение сферы радиусом R с центром в начале координат имеет вид: РЕШЕНИЕ Интеграл по ломанной линии MNV вычисляем суммой двух интегралов: по отрезку прямой MN и отрезку NV. Определим уравнение прямой интегрирования MN, как уравнение прямой, проходящей через две точки

 


Изменить порядок интегрирования