ТОЭ
Математика
Безопасность
Графика
АЭС
Контрольная
Расчеты
Дизайн

Токамак

Задачи
Черчение
Билеты
Аварии
Курсовая
Начертательная
Типовая

Решение контрольной работы по математике. Вычисление интегралов, матриц, функций

Задача 6. Дано плоское скалярное поле U = x2 –2y, точка М0(1,–1) и вектор . Требуется:

1) найти уравнения линий уровня поля;

2) найти градиент поля в  точке M0 и производную  в точке M0 по направлению вектора ;

3) построить в системе координат xОy 4-5 линий уровня, в том числе линию уровня, проходящую через точку M0, изобразить вектор  на этом чертеже.

Решение.

1) Для U = x2 – 2y уравнение семейства линий уровня имеет вид

x2 – 2y = С или y =  – , где С – произвольная постоянная. Это семейство парабол, симметричных относительно оси Oy (ветви направлены вверх) с вершинами в точках (0, – ).

Найдем частные производные функции U = x2 – 2y:

 = (x2 – 2y) = 2x,  = (x2 – 2y) = – 2.

В точке М0(1,–1) значения частных производных:, .

По формуле (7) находим градиент поля в точке M0:

.

Прежде, чем найти производную по направлению вектора = = {2; – 1}, вычислим его модуль и направляющие косинусы:

, .

Производную поля по направлению вектора  в точке М0 вычисляем

по формуле (8): .

3) Для построения линий уровня в системе координат xОy подставим в уравнение семейства линий уровня y =  –  различные значения С:

при С = 0 получим y = – уравнение линии уровня, соответствующей значению U = 0;

при С = –2 получим y =  + 1 (для U = –2);

при С = 2 получим y =  – 1 (для U = 2);

при С = – 4 получим y =  + 2, и т.д.

Получим уравнение линии уровня, проходящей через точку М0(1,–1). Для этого вычислим значение функции U в этой точке: .

Построим эти линии в системе координат xОy (рис. 10).

Для построения градиента поля в точке M0 нужно отложить от точки М0 проекции градиента в направлениях координатных осей и построить вектор   по правилу параллелограмма.

В данном случае , поэтому откладываем от точки М0(1,– 1) две единицы вдоль оси Ox, две единицы в направлении, противоположном оси Oy и получаем вектор   как диагональ параллелограмма, построенного на векторах  и  (рис. 10).

Ответы: 1) x2 – 2y = С; 2) , ;

3) линии уровня и  на рисунке 10.

 


Задачи