Контрольная работа Вычисление криволинейных интегралов 1-го рода Криволинейный интеграл II рода Поверхностный интеграл 1 рода второго рода Вычисление длины дуги кривой Решение примерного варианта контрольной работы

Решение контрольной работы по математике. Вычисление интегралов, матриц, функций

Решение примерного варианта контрольной работы №2

Задача 1. Используя двойной интеграл, вычислить статический момент относительно оси Ox тонкой однородной пластинки, имеющей форму области D, ограниченной заданными линиями: . Построить чертеж области интегрирования.

Указание. Считать плотность вещества .

Решение.

 Область D (рис. 11) представляет собой криволинейный треугольник MNK, где . Для определения координат точки М решаем систему уравнений:

Область D – правильная в направлении оси Oх, она задается системой неравенств:  где  – это уравнения линий, ограничивающих область слева и справа.

Найдем статический момент пластинки MNK относительно оси Ox по формуле (11):

.

Для вычисления двойного интеграла сводим его к повторному интегралу в соответствии с системой неравенств, задающих область D:

Ответы: Mx = 4,125 ед. стат. момента; область интегрирования на рисунке 11.

Задача 7. Дана функция комплексной переменной , где z = x + iy, и точка z0 = – 1 + 3i. Требуется: представить функцию в виде w = u(x, y) +iv(x, y), выделив ее действительную и мнимую части; проверить, является ли функция w аналитической;

Задача 2. Используя тройной интеграл в цилиндрической системе координат, вычислить массу кругового цилиндра, нижнее основание которого лежит в плоскости xOy, а ось симметрии совпадает с осью Oz, если заданы радиус основания R = 0,5, высота цилиндра H = 2 и функция плотности , где r – полярный радиус точки.

Составленный криволинейный интеграл сводим к определенному интегралу, используя параметрические уравнения кривой ВС:

Задача 4.  Задан радиус-вектор движущейся точки: . Найти векторы скорости и ускорения движения этой точки через 2 минуты после начала движения.

Задача 6. Проверить, является ли векторное поле силы  потенциальным или соленоидальным. В случае потенциальности поля найти его потенциал и вычислить с помощью потенциала работу силы  при перемещении единичной массы из точки M(0,1,0) в точку N(–1,2,3).

 


Изменить порядок интегрирования