ТОЭ
Математика
Безопасность
Графика
АЭС
Контрольная
Расчеты
Дизайн

Токамак

Задачи
Черчение
Билеты
Аварии
Курсовая
Начертательная
Типовая

Решение контрольной работы по математике. Вычисление интегралов, матриц, функций

ЗАДАНИЕ 7. Найти объем тела, ограниченного указанными поверхностями.

  Приведем решение двух задач на вычисление объемов тел, рассматривая тела с различной геометрией поверхности.

1) ,

2)   .

РЕШЕНИЕ.

 1). Тело  ограничено двумя поверхностями: параболоидом   и плоскостью . Изобразим это тело на чертеже (рис.75).

Рис.75

 Данное тело является -цилиндрическим брусом (рис.72); боковая поверхность выродилась в линию пересечения заданных поверхностей. Найдем область, в которую тело проектируется на плоскость , для чего из уравнений поверхностей, ограничивающих тело, следует исключить переменную  (т.е. совершить ортогональное проектирование):

  и .

Таким образом, областью  () является круг с центром в точке (0; 1) радиуса =1  (см. рис.75).

 Объем тела может быть вычислен с помощью тройного интеграла по формуле . В декартовой системе координат тройной интеграл записывается через повторный следующим образом:

,

откуда видно, что его вычисление сопряжено со значительными трудностями (на завершающей стадии вычисления повторного интеграла).

 Запишем интеграл в цилиндрической системе координат , с которой декартова система связана формулами

.

Якобиан  преобразования . Формула перехода (в интеграле) имеет вид

.

В нашем случае

.

Запишем уравнения параболоида и плоскости в цилиндрической системе координат:

.

Для окружности  имеем ; угол , очевидно, необходимо менять в пределах от 0 до . Таким образом ,

 

===.

Ответ. =.

 2) Изобразим тело , ограниченное поверхностями цилиндра , параболоида  и плоскостью  (рис.76).

Рис.76


Нетрудно убедиться, что и здесь, как и в предыдущем случае, повторный интеграл, записанный в декартовой системе координат, при вычислении требует значительных усилий; поэтому и в этом случае перейдем к цилиндрической системе координат

Чтобы тройной интеграл записать в виде повторного, перейдем в уравнениях ограничивающих тело поверхностей к сферическим координатам.

  Так как подынтегральная функция представляет собой произведение функций, каждая из которых зависит только от одной переменной, а пределы интегрирования постоянны, то повторный интеграл представляет собой просто произведение трех интегралов


Задачи