Контрольная работа Решение матрицы Табличное интегрирование. Замена переменной Изменить порядок интегрирования Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах и полярных координатах

Решение контрольной работы по математике. Вычисление интегралов, матриц, функций

Предел последовательности

Задания для подготовки к практическому занятию

Прочитайте предложенные рассуждения и примеры. Ответьте письменно на вопросы и решите задачи.

Напомним для начала, что числовая последовательность – это бесконечный упорядоченный набор чисел. Члены последовательности можно пронумеровать, так что каждому натуральному значению n (1,2,3,…) соответствует член последовательности (а1, а2, а3,…). Таким образом, последовательность – это функция, заданная на множестве натуральных чисел. Задают последовательность чаще всего формулой общего члена. Например, если , то первые члены этой последовательности:

Понятие предела последовательности поясним пока на простых примерах:

- Последовательность натуральных чисел 1,2,3,4,5,… неограниченно возрастает или стремится к плюс бесконечности: n®+¥. Поскольку n – натуральные числа и не могут быть отрицательными, знак «+» обычно опускают, подразумевая его «по умолчанию», и пишут n®¥.

- Последовательность  стремится к 0 при n®¥. Действительно, при очень больших значениях n значения  становятся очень

маленькими, так что, хотя члены этой последовательности не становятся равны 0, но отграничить их от 0 невозможно: начиная с некоторого номера все члены этой последовательности оказываются ближе к 0, чем любое заранее выбранное число e. Это легко понять, например если изобразить члены последовательности точками на числовой прямой.

Пишут:  (предел при n®¥ равен 0) или иногда .

- Сходным образом  и т.п. Вообще, если числитель дроби постоянен, а знаменатель неограниченно взрастает, то вся дробь стремится к 0.

При вычислении пределов последовательностей пользуются простыми их свойствами:

предел суммы равен сумме пределов (если последние существуют и конечны);

предел произведения равен произведению пределов (если последние существуют и конечны);

предел отношения равен отношению пределов (если последние существуют и конечны и предел знаменателя не равен 0).

Примеры.

1. Вычислить  .

Решение: При n®¥ и числитель и знаменатель дроби стремятся к бесконечности. Говорят, что имеет место неопределенность вида .

Из трех слагаемых числителя быстрее всего возрастает слагаемое старшей степени, т.е. 3n2. Вынесем за скобки n2:

Аналогичным образом преобразуем знаменатель:

.

В целом получаем:

Заметим, что слагаемые  при n®¥ стремятся к 0 и, таким образом, после сокращения дроби на n2, имеем:

.

2. Вычислить .

Решение: Имеется неопределенность вида . Преобразуем дробь, вынеся за скобки старшую степень n в числителе и знаменателе:

.

3. Вычислить .

Решение: Имеется неопределенность вида . Преобразуем дробь:

4. Вычислить .

Решение: Имеется неопределенность вида . Преобразуем дробь, вынеся старшую степень из каждого множителя:

 

Понятие предела последовательности поясним пока на простых примерах: Определение производной функции, ее геометрический и физический смысл, ее свойства подробно описаны в §13 лекций. Займемся непосредственно вычислением производных, для чего используем сводную таблицу формул дифференцирования. Вторая часть таблицы, в которой приведены производные основных элементарных функций, записана для сложных функций вида f(u), u=u(x). При этом следует помнить, что .

Дифференциал функции Пример. Дана функция . Найти ее первый дифференциал dy Решение: Воспользуемся формулой первого дифференциала.

. Таким образом, .


Вычисление криволинейных интегралов 1-го рода