Emporio Armani мужские    часы

Emporio Armani мужские часы

Гуманитарные науки

У нас студенты зарабатывают деньги

 Дипломы, работы на заказ, недорого

Дипломы, работы на заказ, недорого

 Cкачать    курсовую

Cкачать курсовую

 Контрольные работы

Контрольные работы

 Репетиторы онлайн по английскому

Репетиторы онлайн по английскому

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

Контрольная работа Решение матрицы Табличное интегрирование. Замена переменной Изменить порядок интегрирования Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах и полярных координатах

Решение контрольной работы по математике. Вычисление интегралов, матриц, функций

Предел последовательности

Задания для подготовки к практическому занятию

Прочитайте предложенные рассуждения и примеры. Ответьте письменно на вопросы и решите задачи.

Напомним для начала, что числовая последовательность – это бесконечный упорядоченный набор чисел. Члены последовательности можно пронумеровать, так что каждому натуральному значению n (1,2,3,…) соответствует член последовательности (а1, а2, а3,…). Таким образом, последовательность – это функция, заданная на множестве натуральных чисел. Задают последовательность чаще всего формулой общего члена. Например, если , то первые члены этой последовательности:

Понятие предела последовательности поясним пока на простых примерах:

- Последовательность натуральных чисел 1,2,3,4,5,… неограниченно возрастает или стремится к плюс бесконечности: n®+¥. Поскольку n – натуральные числа и не могут быть отрицательными, знак «+» обычно опускают, подразумевая его «по умолчанию», и пишут n®¥.

- Последовательность  стремится к 0 при n®¥. Действительно, при очень больших значениях n значения  становятся очень

маленькими, так что, хотя члены этой последовательности не становятся равны 0, но отграничить их от 0 невозможно: начиная с некоторого номера все члены этой последовательности оказываются ближе к 0, чем любое заранее выбранное число e. Это легко понять, например если изобразить члены последовательности точками на числовой прямой.

Пишут:  (предел при n®¥ равен 0) или иногда .

- Сходным образом  и т.п. Вообще, если числитель дроби постоянен, а знаменатель неограниченно взрастает, то вся дробь стремится к 0.

При вычислении пределов последовательностей пользуются простыми их свойствами:

предел суммы равен сумме пределов (если последние существуют и конечны);

предел произведения равен произведению пределов (если последние существуют и конечны);

предел отношения равен отношению пределов (если последние существуют и конечны и предел знаменателя не равен 0).

Примеры.

1. Вычислить  .

Решение: При n®¥ и числитель и знаменатель дроби стремятся к бесконечности. Говорят, что имеет место неопределенность вида .

Из трех слагаемых числителя быстрее всего возрастает слагаемое старшей степени, т.е. 3n2. Вынесем за скобки n2:

Аналогичным образом преобразуем знаменатель:

.

В целом получаем:

Заметим, что слагаемые  при n®¥ стремятся к 0 и, таким образом, после сокращения дроби на n2, имеем:

.

2. Вычислить .

Решение: Имеется неопределенность вида . Преобразуем дробь, вынеся за скобки старшую степень n в числителе и знаменателе:

.

3. Вычислить .

Решение: Имеется неопределенность вида . Преобразуем дробь:

4. Вычислить .

Решение: Имеется неопределенность вида . Преобразуем дробь, вынеся старшую степень из каждого множителя:

 

Понятие предела последовательности поясним пока на простых примерах: Определение производной функции, ее геометрический и физический смысл, ее свойства подробно описаны в §13 лекций. Займемся непосредственно вычислением производных, для чего используем сводную таблицу формул дифференцирования. Вторая часть таблицы, в которой приведены производные основных элементарных функций, записана для сложных функций вида f(u), u=u(x). При этом следует помнить, что .

Дифференциал функции Пример. Дана функция . Найти ее первый дифференциал dy Решение: Воспользуемся формулой первого дифференциала.

. Таким образом, .


Вычисление криволинейных интегралов 1-го рода