Контрольная работа Площадь плоской криволинейной трапеции. Тройной интеграл в декартовых и сферических координатах Масса неоднородного тела. Цилиндрические координаты Сферические координаты

Решение контрольной работы по математике. Вычисление интегралов, матриц, функций

Пример 3. Найти интеграл .

Решение. Воспользуемся формулой интегрирования по частям:

.

В выражении, стоящем под знаком интеграла, обозначим: , а .

По данным  и , для составления правой части формулы, вычисляем   и:

.

Составляем правую часть формулы интегрирования по частям, записывая вместо   их выражения.

Пример 4. Найти интеграл .

Решение. Отделим от нечетной степени один множитель: .

Если положить , то . Перейдем в интеграле к новой переменной t:

Возвратившись к прежней переменной, получаем: .

Пример 5. Найти интеграл  .

Решение. Понизим у  и  степень с помощью следующих формул: .

Тогда в исходном интеграле получим следующее:

Первый интеграл является табличным: , а во втором интеграле применим формулу понижения степени. Тогда искомый интеграл преобразуется к виду:

.

Пример  6. Найти интеграл .

Решение. С помощью формул тригонометрии: , такие подынтегральные выражения приводятся к рациональным выражениям, зависящим от . Получаем:

,

а интеграл приобретает следующий вид:

  .

Применив универсальную тригонометрическую замену

, получим интеграл .

Возвратившись к прежней переменной, имеем:

.

Первый интеграл является табличным: .

Так как дроби между собой равны, а также равны их знаменатели, то и числители также равны. Поэтому у многочленов, стоящих в числителе приравняем коэффициенты при х2,х1,х0 и получим систему трех уравнений с тремя неизвестными:

Решив эту систему получим следующие значения A, B и C: .

Пример 8. Найти интеграл . Определенный интеграл

Вычислить несобственный интеграл  или установить его расходимость.

 


Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах