Контрольная работа Площадь плоской криволинейной трапеции. Тройной интеграл в декартовых и сферических координатах Масса неоднородного тела. Цилиндрические координаты Сферические координаты

Решение контрольной работы по математике. Вычисление интегралов, матриц, функций

Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах

Область D называется правильной относительно оси Ох, если прямая, параллельная этой оси, проходящая через внутреннюю точку области D, пересекает границу области в двух точках. Аналогично определяется правильная область относительно оси Оу.

  Рисунок 2. Рисунок 3.

Рисунок 2 - Область, правильная, относительно оси Оу Рисунок 3 - Область, правильная, относительно оси Ох

Область D, правильную относительно как Ох, так и Оу, называют просто правильной областью.

Если область D - правильная относительно Оу (рисунок 2), двойной интеграл вычисляется по формуле

Правую часть формулы (8) называют повторным (двукратным) интегралом. Вычисление повторного  интеграла начинаем с вычисления внутреннего интеграла.

в  котором переменную х надо принять при интегрировании за постоянную величину. После  подстановки пределов интегрирования в первообразную получаем некоторую функцию, зависящую от х, которую затем интегрируем на отрезке [a,b].

Если область D является правильной относительно оси Ох (рисунок 3), двойной интеграл вычисляется по формуле:

Если область D - просто правильная, можно применять как формулу (8), так и формулу (9). При этом переход от одной формулы к другой называют изменением порядка интегрирования.

Сам процесс перехода от двойного интеграла к повторному и расстановка пределов интегрирования для внешнего и внутреннего интегралов называют приведением двойного интеграла к повторному.

Правило расстановки пределов.

В пределах внутреннего интеграла (интеграла по первой переменной) в общем случае стоят функции второй переменной.

В пределах внешнего интеграла (по второй переменной) стоят постоянные числа. В результате вычисления двойного интеграла получается некоторое постоянное число.

Если область не является правильной ни относительно оси Ох, ни относительно оси Оу, её разбивают на конечное число областей , правильных относительно одной из осей и при вычислении применяют свойство 2.

Если тело неоднородное, то в каждой формуле под знаком интеграла будет находиться дополнительный множитель  - плотность тела в точке P.

Если m, М - наименьшее  и наибольшее значения непрерывной функции f(x,y) в области D, то справедливо двойное неравенство (оценка двойного интеграла):

 


Шаловливые проститутки с http://prostitutkipitera.one/metro/zvenigorodskaya/ покажут вам лесби шоу в апартаментах у метро Звенигородская. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах