Примеры расчета цепей Трехфазные цепи Резонанс токов Метод двух узлов Метод эквивалентного генератора Расчет цепей при наличии взаимной индуктивности Высшие гармоники в трехфазных цепях Расчет переходных процессов

Примеры расчета электрических и магнитных цепей

Расчет электрических цепей однофазного синусоидального тока

Методические рекомендации по выполнению задания

1. Мгновенное значение величины, синусоидально изменяющейся с течением времени

 

где Аm - максимальное значение или амплитуда; (wt+ya) - фаза (фазовый угол); ya - начальная фаза (начальный фазовый угол); w - угловая частота [рад/c].

Период T [c] , угловая частота w и частота f [Гц] связаны соотношением

 ;

По приведенному уравнению можно построить синусоиду и соответствующую векторную диаграмму, которая получается с учетом того, что мгновенные значения а – это проекция вращающегося вектора Аm на ось мнимых чисел.

Аналитически этот вращающийся вектор записывается как

Аm e jya e jwt

 


 Амплитуда Оператор поворота Оператор вращения с

 на угол ya угловой частотой w

Обозначим , где - комплексное амплитудное значение.

Таким образом, а(t)=Аm sin(wt + yа) = Im[ e jwt].

  ­ операция выделения мнимой

 части комплексного числа.

Метод представления синусоидальных функций времени изображениями в виде векторов на комплексной плоскости называется символическим методом или методом комплексных амплитуд.

При необходимости можно оперировать комплексным действующим значением   с учетом того, что действующее значение .

2. Комплексные числа. Комплексное число, соответствующее точке, в которой лежит конец вектора Аm, может быть написано в следующих формах

  -алгебраической ;

 -показательной  (в соответствии с формулой Эйлера ).

Здесь  – вещественная часть комплексного числа Аm;

  – мнимая часть комплексного числа Аm;

  – модуль комплексного числа Аm (всегда положителен);

   – угол или аргумент комплексного числа.

 Комплексное число  называется сопряженным числу .

  – мнимая единица или оператор поворота на угол  ;

 Умножение комплексного числа  на число  сводится к повороту вектора  в комплексной плоскости на угол a: . При a>0 вектор  поворачивается против часовой стрелки, при a<0 – по часовой стрелке.

3. Источник напряжения с ЭДС  можно полностью охарактеризовать, задав комплексную амплитуду ЭДС  или комплексное действующее значение ЭДС  ().

4. Пассивный элемент электрической цепи определяется комплексным сопротивлением  - комплексным числом, равным отношению комплексного напряжения на зажимах данного элемента к комплексному току этого элемента

,

Где  и – комплексные действующие значения напряжения и тока;

  R – вещественная часть комплексного сопротивления  или активное сопротивление цепи;

  X – мнимая часть  или реактивное сопротивление цепи, составленное из индуктивного  и емкостного сопротивлений;

 Z – модуль комплексного сопротивления цепи или полное сопротивление цепи;

 – аргумент , равный углу сдвига фаз между током и напряжением.

Отношение комплексного тока в данной цепи к комплексному напряжению на её зажимах называется комплексной проводимостью электрической цепи

.

Таким образом, от комплексного сопротивления Z можно всегда перейти к комплексной проводимости Y, пользуясь соотношениями

;

.

6. Закон Ома для участка цепи, не содержащего ЭДС, имеет вид

.

11. При расчете цепей переменного тока посредством комплексных чисел остаются справедливыми все методы расчета, применяемые для расчета цепей постоянного тока. При этом во всех уравнениях, приведенных в разделе 1, все ЭДС, напряжения, токи, сопротивления и проводимости должны быть записаны в комплексной форме.



Примеры расчета электрических и магнитных цепей