Примеры расчета цепей Трехфазные цепи Резонанс токов Метод двух узлов Метод эквивалентного генератора Расчет цепей при наличии взаимной индуктивности Высшие гармоники в трехфазных цепях Расчет переходных процессов

Примеры расчета электрических и магнитных цепей

Мощности

Рассчитаем мощность произвольного приемника, представленного на рис.2.30 в виде пассивного двухполюсника.

Рис.2.30. Пассивный двухполюсник

Пусть u = Umsinwt – подводимое напряжение; φu – φI = j. Сопротивления в цепи переменного тока В цепях переменного тока выделяют следующие виды сопротивлений.

При φu=0 имеем i = Imsin(wt – j).

 Тогда

.63(2.54)

Построим график полученной функции p(wt) (рис. 2.31).

Рис.2.31. Зависимость мгновенных значений тока,
напряжения и мощности произвольного
двухполюсника в функции фазы ωt

Полученный график говорит о том, что функция мгновенной мощности знакопеременна. Это значит, что двухполюсник имеет активно-реактивный характер. Если бы двухполюсник не содержал реактивных элементов, то график полностью бы лежал над осью wt. Найдем среднее значение мгновенной мощности

 . 64(2.55)

Эта мощность называется активной мощностью. Единица измерения активной мощности – [Вт].

Наряду с активной вводится понятие полной мощности

 S = UI. 65(2.56)

Единица измерения полной мощности – [В×А].

P/S = cosj  – коэффициент мощности.

Разность полной и активной мощности, обусловленная наличием реактивных (индуктивных и емкостных) элементов называется реактивной мощностью

 Q = QL – QC = UIsinj . 66(2.57)

Единица измерения реактивной мощности – [вар]. Мощности связаны между собой соотношением

 . 67(2.58)

Треугольник мощностей (2.32.a) можно получить из векторной диаграммы напряжений (рис.2.14), умножив стороны прямоугольного треугольника на вектор .

В этом треугольнике:

сторона ab – P = URI = I2R = UIcosj;

сторона bc – Q = QL – QC = (UL – UC)I = I2(XL – XC) = UIsinj;

сторона ac – .



 

Рис.2.32. Треугольники мощностей на основе
векторной диаграммы напряжений (а)
и векторной диаграммы токов (b)

Аналогичный треугольник мощностей можно получить из векторной диаграммы токов, умножив все стороны треугольника токов на вектор . В этом треугольнике (2.32.b):

cторона ab – P = IRU = I2g = UIcosj;

сторона bc – Q = QL – QC = (IL – IC)U = U2b = UIsinj;

сторона ac –  ;

Выражение мощности в комплексной форме

Пусть на входе некоторого двухполюсника известны комплексные изображения напряжения и тока

; .

Мощность в комплексной форме выражается в виде произведения

 , 68(2.59)

где   – сопряженный комплекс тока.

.  69 (2.60)

Передача энергии от активного
двухполюсника к пассивному

При работе любой электрической цепи должен иметь место баланс мощностей, т.е. алгебраические суммы активных и реактивных мощностей, развиваемых генераторами, должны равняться алгебраическим суммам активных и реактивных мощностей, поступающих во все пассивные элементы цепи, включая и внутреннее сопротивление генераторов.

Полная мощность, развиваемая генератором

.

Полная мощность, поступающая в любой приемник

Тогда уравнение баланса мощностей

 70 , блн (2.61)

где rгk и xгk – соответственно внутренние активные и реактивные сопротивления генераторов.

Пусть в электрической цепи работает один источник энергии. Оценим условия, при которых в нагрузке будет выделяться максимальная мощность. Ток в цепи

Реактивное сопротивление цепи должно равняться нулю

xг + xн = 0,

т.е. цепь должна работать в резонансном режиме, следовательно xг и xн должны быть равными по величине и противоположными по характеру (индуктивное и емкостное сопротивления). В итоге

Найдем соотношение между rг и rн. Определим мощность приемника

и полагая, что сопротивление нагрузки rн переменно, исследуем функцию Pн на экстремум

  откуда

. 71(2.62)

Следовательно, для получения максимальной мощности в нагрузке необходимо, чтобы

 . 72(2.63)

Режим работы цепи при этом условии называется согласованным режимом. КПД источника при этом условии

.

При таком низком КПД согласованный режим работы используется только в слаботочных цепях, таких как телефонные линии, линии автоматики и телемеханики, где важна величина полезного сигнала по сравнению с помехами.


Примеры расчета электрических и магнитных цепей