Примеры расчета цепей Расчет цепей несинусоидального переменного тока Асинхронный двигатель Выпрямители Медоды расчета резистивных цепей Метод законов Кирхгофа Теория нелинейных цепей Расчет магнитной цепи

Примеры расчета электрических и магнитных цепей

Синтез электрических цепей

Характеристика задач синтеза

Синтезом электрической цепи называют определение структуры цепи и параметров составляющих ее элементов R, L и С по известным свойствам (характеристикам), которым должна удовлетворять цепь. Задачи синтеза цепей противоположны по цели и содержанию задачам анализа. В отличие от задач анализа, имеющих, как правило, единственное решение, задачи синтеза могут иметь несколько решений, удовлетворяющих заданным условиям. В этом случае выбирают наиболее рациональное решение (например, по стоимости, по габаритам, по массе, по числу элементов и т. д.) Кроме того, физического решения  может не существовать вообще, так как из существующих реальных элементов не всегда можно построить электрическую цепь, удовлетворяющую заданным условиям.

Пусть требуется синтезировать электрическую цепь, для которой заданы временные характеристики на входе: . Комплексное сопротивление и комплексная проводимость такой цепи равны:

,

.

Полученным значениям для Z и Y соответствуют две различные схемы замещения цепи (рис. 195а, б): Проверим измерения теоретическими расчетами. В идеальных условиях ток в цепи в режиме холостого хода равен нулю: I=0. Из этого следует, что напряжение на сопротивлении источника тоже будет равно нулю: Uи=IRи=0. Напряжение же на нагрузке будет равно напряжению источника ЭДС: Uн=Е=50В.

Пусть временные характеристики цепи на входе имеют вид: . Комплексное сопротивление такой цепи равно:

.

Данная цепь на основе пассивных элементов R, L и С физически нереализуема, так как в природе не существует резисторов с отрицательным сопротивлением.

С задачами синтеза на практике встречаются при проектировании сложных фильтров, корректирующих устройств в радиотехнике, технике связи, автоматике и телемеханике.

Синтез электрических цепей развивался по нескольким направлениям:

синтез цепи, заданной операторной входной характеристикой;

синтез цепи, заданной временной характеристикой в виде реакции цепи на воздействие импульса напряжения или тока прямоугольной формы, и др.

Наиболее простые результаты получены по первому направлению, которое и будет в дальнейшем рассмотрено.

2. Свойства входных операторных функций пассивных электрических цепей

Входной функцией цепи (двухполюсника) называется входное операторное сопротивление или входная операторная проводимость . Пусть задана операторная схема некоторой цепи (рис. 196):

 

Входное операторное сопротивление схемы будет равно:

.

Таким образом, входное операторное сопротивление или входную операторную проводимость   для любой схемы можно представить в виде отношения двух полиномов:

.

Входные операторные функции обладают следующими свойствами:

все коэффициенты ак и bк в числителе и знаменателе выражения Z(p) должны быть вещественными и положительными числами, так как они образуются суммами, произведениями и частными от вещественных параметров элементов R, L и С;

наивысшая степень числителя должна отличаться от наивысшей степени знаменателя не более, чем на 1;

нули и полюсы функции Z(p) должны иметь отрицательную вещественную часть;

при замене оператора Лапласа на оператор Фурье  вещественная часть функции должна быть положительной: .

Нулями функции Z(p) называются корни рк уравнения N(p)=0, при подстановке которых значение функции равно нулю: Z(pк) =0. Полюсами функции Z(p) называются корни рк уравнения М(p)=0, при подстановке которых значение  функции равно бесконечности: Z(pк) =. Известно, что свободные составляющие переходного процесса в электрической цепи описываются слагаемыми вида  и обязательно должны затухать во времени, что возможно только, если действительная часть корней рк отрицательна.

При замене оператора Лапласа на оператор Фурье  операторное сопротивление Z(p) превращается в комплексное сопротивление Z(jw)=R+jX, вещественная часть которого равна активному сопротивлению R, которое не может быть отрицательным.

Функции, обладающие перечисленными свойствами, называются положительными вещественными функциями. Только такие функции могут быть реализованы в виде конкретной электрической цепи.

3. Синтез двухполюсника лестничной (цепной) схемой

Непрерывной дробью называется математическое уравнение вида:

.

Пусть электрическая цепь имеет лестничную (цепную) схему (рис. 197).

Методом свертки выразим входное сопротивление и входную проводимость цепной схемы:

Входное сопротивление и входная проводимость цепной схемы выражается уравнением, которое имеет структурную форму непрерывной дроби.

Таким образом, задача синтеза двухполюсника, заданного входной функцией  или , сводится к преобразованию этой функции к виду непрерывной дроби и последующему переходу к соответствующей этой дроби цепной схеме.

В математике разработаны способы преобразования простых дробей к виду непрерывной дроби. Порядок такого преобразования показан на конкретном примере:

 

По аналогичной форме выполняется преобразование к виду непрерывной дроби выражений входных функций  или . Процесс преобразования можно представить следующим образом:

располагают полиномы N(p) и М(p) либо по убывающим, либо по возрастающим степеням р;

делят N(p) на М(p) как многочлен на многочлен, в результате получают частное Ч1(p) и некоторый остаток О1(p);

делят М(p) на остаток О1(p) как многочлен на многочлен, в результате получают частное Ч2(p) и некоторый остаток О2(p);

и т. д. продолжают процесс деления до получения частного без остатка;

в соответствии с полученной непрерывной дробью составляют цепную схему замещения в операторной форме;

переходят к физическим параметрам элементов схемы (к электрической схеме) на основе формул соответствия: .

На основании изложенного процесс последовательного деления можно представить следующей схемой:

При делении многочлена на многочлен следят за тем, чтобы в процессе деления в частном содержались только положительные члены, и чтобы они не содержали множитель р в степени больше 1.

4. Синтез двухполюсника методом разложения входной функции на простейшие составляющие

Выражение для входной функции  или  математически можно разложить на простые слагаемые по форме:

.

Первые два слагаемые выделяют из входной функции  путем деления N(p) на М(p) как многочлен на многочлен с целью понижения показателя числителя до значения n=m-1, в результате получают частное  и некоторый остаток N1(p). Остаток функции раскладывают на простые слагаемые по известной в математике формуле разложения:

,

где р1, р2, …pm – корни уравнения М(p)=0, - коэффициенты, определяемые согласно формуле разложения.

После разложения входной функции на простые слагаемые каждому слагаемому подбирают соответствующий ему участок операторной схемы, отдельные участки соединяют между собой последовательно для функции или параллельно для функции , и таким образом получают схему цепи, соответствующей входной функции  или .

Рассмотрим простейшие схемы соединения элементов и соответствующие им операторные изображения.

 Þ 

 Þ 

 Þ 

 Þ 

 Þ 

 

 

Þ 

 Þ 

 Þ   

 Þ 

Рассмотрим, каким образом может быть реализовано каждое слагаемое входной функции Z(p). Первому слагаемому соответствует катушка индуктивности , так как . Второму слагаемому  соответствует резистор .

Если среди корней рк имеется корень , то его подстановка в формулу разложения дает выражение вида , которое в схеме может быть реализовано конденсатором  , так как .

Если среди корней рк имеются мнимые сопряженные корни  и , то их подстановка в формулу разложения дает следующее выражение ():

  ,

которому соответствует параллельный резонансный контур, состоящий из элементов L и С, для которого  и .

Если среди корней рк имеется вещественный отрицательный корень , то его подстановка в формулу разложения дает выражение вида , которое может быть реализовано схемой с параллельным соединением элементов R и С при соотношении , и .

Слагаемые, соответствующие комплексно сопряженным корням , могут быть реализованы более сложными методами, рассмотрение которых здесь не приводится.


Расчет резистивных электрических цепей Резонанс в электрических цепях