Примеры расчета цепей Расчет цепей несинусоидального переменного тока Асинхронный двигатель Выпрямители Медоды расчета резистивных цепей Метод законов Кирхгофа Теория нелинейных цепей Расчет магнитной цепи

Примеры расчета электрических и магнитных цепей

Расчет мгновенных значений параметров режима методом численного интегрирования системы дифференциальных уравнений.

Режим нелинейной цепи любой сложности может быть описан системой нелинейных дифференциальных уравнений, составленных для схемы цепи по законам Кирхгофа. Как известно из математики, система дифференциальных уравнений (как линейных так и нелинейных) может быть решена методом численного интегрирования (методы Эйлера, Рунге-Кутта). Таким образом, режим любой нелинейной цепи может быть рассчитан методом численного интегрирования дифференциальных уравнений .

Рассмотрим применение этого метода на примере расчета схемы рис. 244. Пусть на входе схемы источник синусоидальной ЭДС e(t) = Em·sin(wt), а вебер-амперная характеристика нелинейной катушки аппроксимирована уравнением i = a·sh(b·y). Управляемый выпрямитель – это выпрямитель, на выходе которого величина напряжения может изменяться по заданному закону. В таких выпрямителях вместо диодов применяются триодные тиристоры, позволяющие изменять момент их перехода в открытое состояние. Переход тиристора из закрытого состояния в открытое происходит под действием управляющего импульса.

Система дифференциальных уравнений, составленных для схемы цепи по законам Ома и Кирхгофа и дополненная нелинейным алгебраическим уравнением аппроксимации характеристики нелинейного элемента будет иметь вид:

Решение этой системы уравнений может быть выполнено методами численного интегрирования на ЭВМ (например, методом Эйлера). Суть метода состоит в том, что период переменного тока Т разбивается на большое число шагов интегрирования, например N=1000, дифференциалы переменных заменяются конечными приращениями (dyÞDy, duÞDu, diÞDi, dtÞDt), а производные переменных - отношением приращений (dy/dtÞDy/Dt, du/dtÞDu/Dt). На каждом шаге производится решение системы уравнений и определяются значения переменных величин (токов, напряжений) и их производных, причем в качестве исходных данных принимают значения некоторых переменных на предыдущем шаге. В качестве таких функций принимают uС(t), iL(t), которые определяют запасы энергии в электрическом и магнитном поле, вследствие чего они не могут изменяться скачкообразно. Непосредственным результатом расчета будут являться массивы значений переменных величин (токов, напряжений) и их производных в заданном интервале времени (например, в течение периода Т). В результате последующей обработки массивов данных могут быть определены действующие, средние, максимальные значения переменных, их гармонический состав и другие параметры функций.

Метод численного интегрирования (численный метод) обладает высокой точностью, так как в нем непосредственно используются физические характеристики нелинейных элементов. С появлением ЭВМ и расширением области их применения данный метод является основным при расчете нелинейных цепей как в установившемся, так и в переходном режиме.

Один из вариантов решения полученной системы уравнений методом численного интегрирования представлен ниже.

Исходные данные: параметры элементов схемы (Em , f , R, C, a, b); начальные условия uС(0)=0, y(0)=0.

Принимаем: N-число шагов интегрирования за период тока, Т = 1/f - период тока, w=2pf - угловая частота, h=Dt=T/N - шаг интегрирования.

Алгоритм решения системы для произвольного к-го шага:

 tк = h·к;

из (5) iк = a·sh(b·y(к-1));

из (2) uR к = iк ·R;

из (1) uLк = Em·sin(wtк) - uRк - uRок -uС(к-1);

из (3) (dy/dt) к = uLк;

из (4) (duС/dt) к = iк / C;

 yк= y(к-1) + h · (dy/dt) к;

 uСк = uС(к-1) + h · (duС/dt) к.

Вычисление определенных интегралов для определения действующих и средних значений переменных (здесь и далее на примере тока i):

 Si1=Si1+ iк · iк ·h

 Si2=Si2+ iк ·h

Вычисление определенных интегралов для определения гармонических спектров переменных:

для 1-й гармоники: Si3=Si3+ iк ·sin(1 ·wtк ) ·h

 Si4=Si4+ iк ·cos(1·wtк ) ·h

для 2-й гармоники: Si5=Si5+ iк ·sin(2·wtк ) ·h

 Si6=Si6+ iк ·cos(2·wtк ) ·h, и т.д.

Определение максимальных значений переменных:

 если iк > Im то Im = iк.

Конец к-го цикла интегрирования.

После завершения процесса интегрирования производится вычисление интегральных параметров переменных.

Действующие значения: , и т. д.

Cредние значения: , и т. д.

Амплитуды синусных и косинусных составляющих гармоник:

 , и т.д.

Амплитуды и начальные фазы гармоник:

; , и т.д.

Действующие значения высших гармоник:

, и т.д.

Коэффициенты амплитуды: Ка=Imax / I , и т.д.

Коэффициенты отдельных гармоник: Кг2 =I2m / I1m , Кг3 =I3m / I1m, и т.д.

Коэффициенты искажения: Ки = Iвг /I, и т.д.

Коэффициенты формы: Кф = I / Iср, и т.д.

Т4. Переходные процессы в нелинейных цепях

1. Общая характеристика переходных процессов в нелинейных цепях

Переходные процессы в нелинейных цепях описываются системой нелинейных дифференциальных уравнений, составленных для схемы цепи по законам Кирхгофа. Расчет переходных процессов в нелинейных цепях сводится, таким образом, к решению системы нелинейных дифференциальных уравнений. Значительные трудности, возникающие при таких расчетах, обусловлены сложностью решения нелинейных дифференциальных уравнений.

Для расчета переходных процессов в нелинейных цепях нельзя указать общие методы, применимые для любого класса цепей. Выбор метода расчета всегда индивидуален и определяется конкретными условиями задачи: структурой схемы цепи, видом уравнения аппроксимации нелинейной характеристики, требованиями к форме искомой функции и др. Ниже перечислены наиболее важные методы, которые применяются для расчета переходных процессов в нелинейных цепях:

 1) метод интегрируемой аппроксимации характеристики нелинейного элемента;

 2) метод кусочно-линейной аппроксимации характеристики нелинейного элемента;

 3) метод условной линеаризации нелинейного дифференциального уравнения;

 4) метод численного интегрирования системы нелинейных дифференциальных уравнений.

Переходные процессы в нелинейных цепях могут существенно отличаться от переходных процессов в аналогичных по структуре линейных цепях. Нелинейность характеристики какого-либо элемента цепи может привести или только к чисто количественному изменению переходного процесса или к его качественным изменениям. В первом случае на некоторых отрезках времени скорость переходного процесса увеличивается, а на других отрезках времени - замедляется. Во втором случае в цепи возникает качественно новые явления, принципиально невозможные в линейных цепях, например, незатухающие автоколебания с произвольной постоянной или плавающей частотой.

Расчет переходного процесса методом интегрируемой

 аппроксимации

Метод основан на аппроксимации характеристики нелинейного элемента такой функцией, которая позволяет проинтегрировать дифференциальное уравнение цепи стандартным методом.

Ценность метода заключается в том, что в результате интегрирования, решение для искомой функции получается в общем виде, что позволяет исследовать влияние на искомую  функцию различных факторов. Метод применим главным образом к простым электрическим цепям, процессы в которых описываются дифференциальным уравнением 1-го порядка.

Рассмотрим применение данного метода к расчету переходного процесса при включении нелинейной катушки i(y) к источнику постоянной ЭДС E (рис. 245). Вебер-амперную характеристику нелинейной катушки аппроксимируемым уравнением . Дифференциальное уравнение цепи составляется по 2-му закону Кирхгофа: , откуда следует:

,

где обозначены x=y, a=.

По таблице интегралов находим решение:

Настоящая задача имеет аналитическое решение при аппроксимации нелинейной характеристики некоторыми другими уравнениями, например i=ky3,  i=ky4.

 

 

 

 

 


Расчет резистивных электрических цепей Резонанс в электрических цепях