Математика Примеры решения задач

Примеры вычисления интегралов, задачи на ряды


Полное приращение и полный дифференциал. Дифференциалы высших порядков

Пусть дана функция Предположим, что оба ее аргумента x и y получают соответственно приращения и . Тогда функция также получает приращение, , которое называется полным приращением функции.

Функция называется дифференцируемой в точке , если ее полное приращение можно представить в виде где –произвольные приращения аргументов x и y в некоторой окрестности точки , A и B–постоянные (не зависят от ), –бесконечно малая более высокого порядка, чем – расстояние между точками и .

Главная часть приращения функции , линейная относительно и , называется полным дифференциалом этой функции (обозначается dz, ).

Таким образом, .

Можно доказать, что если функция дифференцируема в точке , то она имеет в этой точке частные производные и , причем , . Показательная форма комплексного числа

Следовательно,

(*)

(**)

Под дифференциалами независимых переменных условимся понимать их произвольные приращения: , . Тогда .

Аналогично для функции трех переменных

.

Из формул (*) и (**) следует, что при малых , то есть , или .

Пример. Вычислить приближенно . Решение. , или ; Курс лекций по математике Приближенный метод интегрирования систем Решение дифференциальных уравнений

; ; ; ; тогда ; .

;

; ;

; .

Тогда .

Дифференциалы высших порядков определяются так же, как и для функции одной переменной: , .

Нетрудно показать, что если x, y –независимые переменные, то ;

.

Экстремум функции двух переменных

Пусть функция определена в некоторой области G и точка .

Функция имеет в точке максимум, если существует такая окрестность этой точки, что для всех точек этой окрестности, отличных от , выполняется неравенство .

Аналогично определяется минимум функции.

Максимум и минимум функции называются экстремумами функции.

Теорема (необходимое условие экстремума). Если –точка экстремума функции , то частные производные и в этой точке равны нулю или не существуют.

Точки, в которых частные производные и обращаются в нуль или не существуют, называются критическими точками этой функции.

Сформулированный признак не является достаточным: не обязательно критическая точка является точкой экстремума.

Чтобы проверить, есть ли экстремум в критической точке, используют следующую теорему (достаточное условие экстремума).

Пусть в некоторой области, содержащей точку , функция имеет непрерывные частные производные до 3–го порядка включительно и . Обозначим: . Тогда

1)если , то функция имеет экстремум в точке , причем это максимум, если и минимум, если ;

2)если , то экстремума в точке нет;

3)если , требуется дополнительное исследование (экстремум в точке может быть или не быть).

Пример. Исследовать на экстремум функцию .

Решение. Найдем критические точки функции. ; . Решим систему . Из 2–го уравнения или . Подставив эти значения в 1–ое уравнение, получим: при , , или ; при , , , , . Таким образом, функция имеет четыре критических точки: , , , . Проверим, есть ли экстремум в этих точках.

; ; .

;

в точке O экстремума нет.

в точке A экстремума нет.

в точке B экстремум есть, причем , значит, это минимум. в точке C экстремум есть, причем , значит, это максимум. –минимум функции, –максимум функции.


Классичеcкий секс - экзотический подарок для друга на юбилей от куртизанокКурска http://kursk.prostitutki.camp/sex-services/klassicheckij-seks/,оттого не стоит мешкать с покупкой: добротное здравие напрямую тесно связано с интимным удовольствием. | Ролевые игры от обворожительных милочекКирова http://kirov.prostitutki.camp/sex-services/rolevye-igry/,и ежели попросите, девочки найдут возможность обслужить вас в машине. | Семейным парам - популярная услуга среди безустанных покупателей девушек легкого поведенияИркутска http://irkutsk.prostitutki.camp/sex-services/semejnym-param/,ясное дело заставит согласиться нового посетителя, как здорово можно гулять каждый вечер со старыми товарищами на вечеринке. Метод интегрирования по частям