Emporio Armani мужские    часы

Emporio Armani мужские часы

Гуманитарные науки

У нас студенты зарабатывают деньги

 Дипломы, работы на заказ, недорого

Дипломы, работы на заказ, недорого

 Cкачать    курсовую

Cкачать курсовую

 Контрольные работы

Контрольные работы

 Репетиторы онлайн по английскому

Репетиторы онлайн по английскому

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

Математика Примеры решения задач

Примеры вычисления интегралов, задачи на ряды


Полное приращение и полный дифференциал. Дифференциалы высших порядков

Пусть дана функция Предположим, что оба ее аргумента x и y получают соответственно приращения и . Тогда функция также получает приращение, , которое называется полным приращением функции.

Функция называется дифференцируемой в точке , если ее полное приращение можно представить в виде где –произвольные приращения аргументов x и y в некоторой окрестности точки , A и B–постоянные (не зависят от ), –бесконечно малая более высокого порядка, чем – расстояние между точками и .

Главная часть приращения функции , линейная относительно и , называется полным дифференциалом этой функции (обозначается dz, ).

Таким образом, .

Можно доказать, что если функция дифференцируема в точке , то она имеет в этой точке частные производные и , причем , . Показательная форма комплексного числа

Следовательно,

(*)

(**)

Под дифференциалами независимых переменных условимся понимать их произвольные приращения: , . Тогда .

Аналогично для функции трех переменных

.

Из формул (*) и (**) следует, что при малых , то есть , или .

Пример. Вычислить приближенно . Решение. , или ; Курс лекций по математике Приближенный метод интегрирования систем Решение дифференциальных уравнений

; ; ; ; тогда ; .

;

; ;

; .

Тогда .

Дифференциалы высших порядков определяются так же, как и для функции одной переменной: , .

Нетрудно показать, что если x, y –независимые переменные, то ;

.

Экстремум функции двух переменных

Пусть функция определена в некоторой области G и точка .

Функция имеет в точке максимум, если существует такая окрестность этой точки, что для всех точек этой окрестности, отличных от , выполняется неравенство .

Аналогично определяется минимум функции.

Максимум и минимум функции называются экстремумами функции.

Теорема (необходимое условие экстремума). Если –точка экстремума функции , то частные производные и в этой точке равны нулю или не существуют.

Точки, в которых частные производные и обращаются в нуль или не существуют, называются критическими точками этой функции.

Сформулированный признак не является достаточным: не обязательно критическая точка является точкой экстремума.

Чтобы проверить, есть ли экстремум в критической точке, используют следующую теорему (достаточное условие экстремума).

Пусть в некоторой области, содержащей точку , функция имеет непрерывные частные производные до 3–го порядка включительно и . Обозначим: . Тогда

1)если , то функция имеет экстремум в точке , причем это максимум, если и минимум, если ;

2)если , то экстремума в точке нет;

3)если , требуется дополнительное исследование (экстремум в точке может быть или не быть).

Пример. Исследовать на экстремум функцию .

Решение. Найдем критические точки функции. ; . Решим систему . Из 2–го уравнения или . Подставив эти значения в 1–ое уравнение, получим: при , , или ; при , , , , . Таким образом, функция имеет четыре критических точки: , , , . Проверим, есть ли экстремум в этих точках.

; ; .

;

в точке O экстремума нет.

в точке A экстремума нет.

в точке B экстремум есть, причем , значит, это минимум. в точке C экстремум есть, причем , значит, это максимум. –минимум функции, –максимум функции.


Поможем подобрать и купить диплом Курск в кратчайшие сроки, звоните. Метод интегрирования по частям