Emporio Armani мужские    часы

Emporio Armani мужские часы

Гуманитарные науки

У нас студенты зарабатывают деньги

 Дипломы, работы на заказ, недорого

Дипломы, работы на заказ, недорого

 Cкачать    курсовую

Cкачать курсовую

 Контрольные работы

Контрольные работы

 Репетиторы онлайн по английскому

Репетиторы онлайн по английскому

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

Математика Примеры решения задач

Примеры вычисления интегралов, задачи на ряды


Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных

Пусть функция непрерывна в замкнутой ограниченной области G, дифференцируема внутри этой области. Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции в этой области, нужно:

1)найти критические точки, принадлежащие этой области, и вычислить в них значения функции;

2)найти наибольшее и наименьшее значения функции на границе области;

3)из всех найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в треугольнике, ограниченном прямыми , , .

Решение. 1)найдем критические точки функции. ; .

Найденная критическая точка не принадлежит области. Вычисление площадей в полярных координатах Тройной интеграл

2)Исследуем границу области. На участке AB: y=1, . Функция имеет вид то есть ; при всех функция монотонно возрастает на этом участке, поэтому , .

На участке BC: , Функция имеет вид , то есть , при –критическая точка на участке BC. ; .

На участке AC: x+y=1, или . Функция имеет вид , то есть ; ; при –критическая точка на участке AC. .

3)Выберем наибольшее и наименьшее из найденных значений: Получим где , .

 

Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент Задача . Определить, какие ряды сходятся:

Пусть в пространстве Oxyz имеется область D, в которой задана функция . В этом случае говорят, что в области D задано скалярное поле, а функцию называют функцией поля (например, скалярное поле температур, скалярное поле давлений).

Рассмотрим точки области D, в которых функция поля имеет постоянное значение C: . Совокупность этих точек образует некоторую поверхность, которая называется поверхностью уровня, или эквипотенциальной поверхностью. Уравнение – уравнение поверхности уровня. При различных значениях C получим семейство поверхностей уровня.

Наряду со скалярными полями в пространстве рассматривают также плоские скалярные поля. Функция плоского скалярного поля имеет вид . Плоские скалярные поля изображаются геометрически с помощью линий уровня (например, изотермы на картах синоптиков).

Пусть задана дифференцируемая функция скалярного поля .

Рассмотрим точку этого поля и луч , выходящий из точки P в направлении единичного вектора где –углы, образованные вектором с осями координат (рис.18). Пусть какая-нибудь другая точка этого луча. Обозначим – расстояние между точками P и ; называют величиной перемещения. Приращением функции в направлении назовем разность .

Производной функции в точке P по направлению (обозначают ) называется предел отношения приращения функции в направлении к величине перемещения при : .

Заметим: если в точке P, то функция в этом направлении возрастает, если – убывает. Можно сказать, что производная по направлению дает скорость изменения функции в этом направлении.

По условию функция дифференцируема, значит, ее полное приращение можно представить в виде , где . Разделим обе части на : .

Перейдем к пределу при , учитывая, что , , , , . Получим формулу вычисления производной по направлению: .

Если направление совпадает с направлением какой–либо из осей координат, то совпадает с соответствующей частной производной. Пусть, например, луч направлен по оси Oy. Тогда , то есть , и .

Для плоского скалярного поля .

Градиентом скалярного поля, заданного дифференцируемой функцией , называется вектор, координаты которого совпадают со значениями соответствующих частных производных этой функции: , или .

, где –угол между векторами gradu и . Из этого равенства следует, что принимает наибольшее значение, когда , то есть , значит, направление совпадает с направлением gradu.

Таким образом, gradu есть вектор, указывающий направление наибольшего возрастания поля в данной точке и имеющий модуль, равный скорости этого возрастания.

Пример. Найти скорость изменения функции в точке P в направлении вектора . Найти наибольшую скорость возрастания этой функции в точке P.

Решение. Скорость изменения функции в направлении вектора дает производная по направлению . Найдем значения частных производных в точке P : ; ; . Найдем длину вектора : , тогда и –скорость изменения функции в направлении (функция возрастает, так как ). Наибольшую скорость возрастания дает модуль градиента. –наибольшая скорость возрастания функции в точке P.


Можно недорого здесь купить диплом нового образца 2014 года недорого, только у нас. Метод интегрирования по частям