Математика Примеры решения задач

Примеры вычисления интегралов, задачи на ряды


Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных

Пусть функция непрерывна в замкнутой ограниченной области G, дифференцируема внутри этой области. Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции в этой области, нужно:

1)найти критические точки, принадлежащие этой области, и вычислить в них значения функции;

2)найти наибольшее и наименьшее значения функции на границе области;

3)из всех найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в треугольнике, ограниченном прямыми , , .

Решение. 1)найдем критические точки функции. ; .

Найденная критическая точка не принадлежит области. Вычисление площадей в полярных координатах Тройной интеграл

2)Исследуем границу области. На участке AB: y=1, . Функция имеет вид то есть ; при всех функция монотонно возрастает на этом участке, поэтому , .

На участке BC: , Функция имеет вид , то есть , при –критическая точка на участке BC. ; .

На участке AC: x+y=1, или . Функция имеет вид , то есть ; ; при –критическая точка на участке AC. .

3)Выберем наибольшее и наименьшее из найденных значений: Получим где , .

 

Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент Задача . Определить, какие ряды сходятся:

Пусть в пространстве Oxyz имеется область D, в которой задана функция . В этом случае говорят, что в области D задано скалярное поле, а функцию называют функцией поля (например, скалярное поле температур, скалярное поле давлений).

Рассмотрим точки области D, в которых функция поля имеет постоянное значение C: . Совокупность этих точек образует некоторую поверхность, которая называется поверхностью уровня, или эквипотенциальной поверхностью. Уравнение – уравнение поверхности уровня. При различных значениях C получим семейство поверхностей уровня.

Наряду со скалярными полями в пространстве рассматривают также плоские скалярные поля. Функция плоского скалярного поля имеет вид . Плоские скалярные поля изображаются геометрически с помощью линий уровня (например, изотермы на картах синоптиков).

Пусть задана дифференцируемая функция скалярного поля .

Рассмотрим точку этого поля и луч , выходящий из точки P в направлении единичного вектора где –углы, образованные вектором с осями координат (рис.18). Пусть какая-нибудь другая точка этого луча. Обозначим – расстояние между точками P и ; называют величиной перемещения. Приращением функции в направлении назовем разность .

Производной функции в точке P по направлению (обозначают ) называется предел отношения приращения функции в направлении к величине перемещения при : .

Заметим: если в точке P, то функция в этом направлении возрастает, если – убывает. Можно сказать, что производная по направлению дает скорость изменения функции в этом направлении.

По условию функция дифференцируема, значит, ее полное приращение можно представить в виде , где . Разделим обе части на : .

Перейдем к пределу при , учитывая, что , , , , . Получим формулу вычисления производной по направлению: .

Если направление совпадает с направлением какой–либо из осей координат, то совпадает с соответствующей частной производной. Пусть, например, луч направлен по оси Oy. Тогда , то есть , и .

Для плоского скалярного поля .

Градиентом скалярного поля, заданного дифференцируемой функцией , называется вектор, координаты которого совпадают со значениями соответствующих частных производных этой функции: , или .

, где –угол между векторами gradu и . Из этого равенства следует, что принимает наибольшее значение, когда , то есть , значит, направление совпадает с направлением gradu.

Таким образом, gradu есть вектор, указывающий направление наибольшего возрастания поля в данной точке и имеющий модуль, равный скорости этого возрастания.

Пример. Найти скорость изменения функции в точке P в направлении вектора . Найти наибольшую скорость возрастания этой функции в точке P.

Решение. Скорость изменения функции в направлении вектора дает производная по направлению . Найдем значения частных производных в точке P : ; ; . Найдем длину вектора : , тогда и –скорость изменения функции в направлении (функция возрастает, так как ). Наибольшую скорость возрастания дает модуль градиента. –наибольшая скорость возрастания функции в точке P.


Метод интегрирования по частям