Emporio Armani мужские    часы

Emporio Armani мужские часы

Гуманитарные науки

У нас студенты зарабатывают деньги

 Дипломы, работы на заказ, недорого

Дипломы, работы на заказ, недорого

 Cкачать    курсовую

Cкачать курсовую

 Контрольные работы

Контрольные работы

 Репетиторы онлайн по английскому

Репетиторы онлайн по английскому

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

Математика Примеры решения задач

Примеры вычисления интегралов, задачи на ряды


Линейные однородные уравнения второго порядка. Общие свойства решений

Дифференциальное уравнение второго порядка называется линейным, если оно имеет вид:

(8)

то есть является линейным относительно неизвестной функции y и ее производных и . Коэффициенты и и правая часть этого уравнения непрерывны.

Если правая часть уравнения , то уравнение называют линейным неоднородным. Если же , то уравнение имеет вид

(9)

и называется линейным однородным.

Пусть и –какие–либо частные решения уравнения (9), то есть не содержат произвольных постоянных. Знакопеременные ряды Курс лекций по математике

Теорема 1. Если и –два частных решения линейного однородного уравнения второго порядка, то так же является решением этого уравнения. Интегралы Задача . Вычислить .

Так как и –решения уравнения (9), то они обращают это уравнение в тождество, то есть

и

(10)

Подставим в уравнение (9). Тогда имеем:

в силу (10). Значит, –решение уравнения.

Теорема 2. Если –решение линейного однородного уравнения второго порядка, а C–постоянная, то также является решением этого уравнения.

Доказательство. Подставим в уравнение (9). Получим: то есть –решение уравнения.

Следствие. Если и –решения уравнения (9), то так же является его решением в силу теорем (1) и (2).

Определение. Два решения и уравнения (9) называются линейно зависимыми (на отрезке ), если можно подобрать такие числа и , не равные одновременно нулю, что линейная комбинация этих решений тождественно равна нулю на , то есть если .

Если же таких чисел подобрать нельзя, то решения и называются линейно независимыми (на отрезке ).

Очевидно, решения и будут линейно зависимы тогда и только тогда, когда их отношение постоянно, то есть (или наоборот ).

В самом деле, если и –линейно зависимы, то , где по меньшей мере одна постоянная или отлична от нуля. Пусть, например, . Тогда , , Обозначая получим , то есть отношение –постоянно.

Обратно, если то . Здесь коэффициент при , то есть отличен от нуля, что по определению означает, что и являются линейно зависимыми.

Замечание. Из определения линейно независимых решений и рассуждений выше можно сделать вывод, что если и –линейно независимы, то их отношение не может быть постоянным.

Например, функции и при –линейно независимы, так как , так как . А вот функции 5x и x–линейно зависимы, так как их отношение .

Теорема. Если и –линейно независимые частные решения линейного однородного уравнения второго порядка, то их линейная комбинация , где и –произвольные постоянные, является общим решением этого уравнения.

Доказательство. В силу теорем 1 и 2 (и следствия к ним) является решением уравнения (9) при любом выборе постоянных и .

Если решения и –линейно независимы, то –общее решение, так как это решение содержит две произвольные постоянные, которые не могут быть сведены к одной.

В тоже время, если бы и были линейно зависимыми решениями, то уже не являлось бы общим решением. В этом случае , где α–константа. Тогда , где является постоянной. не может быть общим решением дифференциального уравнения второго порядка, так как зависит лишь от одной постоянной.

Итак, общее решение уравнения (9):

(11)

где и –линейно независимые частные решения этого уравнения, а и –произвольные постоянные.

 

4. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Пусть линейное однородное дифференциальное уравнение (9) имеет постоянные коэффициенты p и q. Будем искать частные решения этого уравнения в виде

где

(12)

Найдем и из формулы (12):

Подставим в уравнение (9). Получим: Но . Поэтому

(13)

Квадратное уравнение (13), из которого определяется число k, называется характеристическим уравнением данного линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Заметим, что для составления характеристического уравнения достаточно в дифференциальном уравнении производные и заменить на k и , а функцию y рассматривать как производную нулевого порядка и y заменить на , то есть на единицу.

Например, характеристическое уравнение дифференциального уравнения имеет вид .

Решим характеристическое уравнение.

(14)

При этих значениях k функции будут решениями уравнения (9).

Возможны три различных случая.

Случай I. Если , то корни характеристического уравнения действительны и различны, то есть . Тогда частными решениями уравнения (9) будут функции и . Эти функции линейно независимы и, следовательно, общим решением линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами будет:

(15)

Пример 10. Найти общее решение уравнения .

Решение. Составим характеристическое уравнение и найдем его корни.

.

Тогда общее решение дифференциального уравнения составляем по формуле (15):

Случай II. Если , то в силу формулы (14) характеристическое уравнение (13) имеет равные корни . Такие корни называются кратными. В этом случае одно частное решение дифференциального уравнения будет . Другое частное решение, линейно независимое с , следует выбрать так, чтобы Тогда , что и означает, что и –линейно независимы. Найдем , определив функцию , подставляя в дифференциальное уравнение. . Тогда

Подставляя и в уравнение , получим . Вынося за скобки общий множитель и сокращая на него, что возможно, так как , получим далее или и . Но , поэтому имеем , откуда и , где a и b–постоянные. Но так как мы ищем какое–либо частное решение дифференциального уравнения, то можно взять и . Тогда , a или .

Таким образом, мы имеем два линейно независимых частных решения линейного уравнения: и . Тогда общее решение этого уравнения будет иметь вид:

или

(16)

Пример 11. Решить дифференциальное уравнение

.

Решение. Составим характеристическое уравнение этого дифференциального уравнения: . Тогда и . Общее решение данного дифференциального уравнения составляем по формуле (16): .

Случай III. Если , то на основании формулы (14) характеристическое уравнение (13) имеет комплексные корни: где . Таким образом, Тогда частные решения линейного однородного уравнения будут иметь вид:

Тогда общее решение уравнения формально можно записать так: , где и –некоторые комплексные постоянные, подобранные таким образом, чтобы общее решение было действительным. Избавимся в последнем выражении от мнимых величин, воспользовавшись формулами Эйлера:

Отсюда где и –какие угодно (ввиду произвольности постоянных и` ) действительные постоянные. Таким образом, если характеристическое уравнение имеет комплексные корни, то общее решение линейного однородного уравнения находится по формуле:

(17)

Пример 12. Составить общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Составим характеристическое уравнение и найдем его корни. Имеем . Отсюда . Тогда согласно формуле (17) получаем общее решение данного дифференциального уравнения .

В заключение этого пункта составим таблицу, использование которой облегчает студенту отыскание общего решения уравнения

.

N

1

2

3

 

4

 


Предлагаем по акции купить диплом нового образца 2014 года для вас по выгодной цене. Метод интегрирования по частям