Математика Примеры решения задач

Примеры вычисления интегралов, задачи на ряды


Линейные однородные уравнения второго порядка. Общие свойства решений

Дифференциальное уравнение второго порядка называется линейным, если оно имеет вид:

(8)

то есть является линейным относительно неизвестной функции y и ее производных и . Коэффициенты и и правая часть этого уравнения непрерывны.

Если правая часть уравнения , то уравнение называют линейным неоднородным. Если же , то уравнение имеет вид

(9)

и называется линейным однородным.

Пусть и –какие–либо частные решения уравнения (9), то есть не содержат произвольных постоянных. Знакопеременные ряды Курс лекций по математике

Теорема 1. Если и –два частных решения линейного однородного уравнения второго порядка, то так же является решением этого уравнения. Интегралы Задача . Вычислить .

Так как и –решения уравнения (9), то они обращают это уравнение в тождество, то есть

и

(10)

Подставим в уравнение (9). Тогда имеем:

в силу (10). Значит, –решение уравнения.

Теорема 2. Если –решение линейного однородного уравнения второго порядка, а C–постоянная, то также является решением этого уравнения.

Доказательство. Подставим в уравнение (9). Получим: то есть –решение уравнения.

Следствие. Если и –решения уравнения (9), то так же является его решением в силу теорем (1) и (2).

Определение. Два решения и уравнения (9) называются линейно зависимыми (на отрезке ), если можно подобрать такие числа и , не равные одновременно нулю, что линейная комбинация этих решений тождественно равна нулю на , то есть если .

Если же таких чисел подобрать нельзя, то решения и называются линейно независимыми (на отрезке ).

Очевидно, решения и будут линейно зависимы тогда и только тогда, когда их отношение постоянно, то есть (или наоборот ).

В самом деле, если и –линейно зависимы, то , где по меньшей мере одна постоянная или отлична от нуля. Пусть, например, . Тогда , , Обозначая получим , то есть отношение –постоянно.

Обратно, если то . Здесь коэффициент при , то есть отличен от нуля, что по определению означает, что и являются линейно зависимыми.

Замечание. Из определения линейно независимых решений и рассуждений выше можно сделать вывод, что если и –линейно независимы, то их отношение не может быть постоянным.

Например, функции и при –линейно независимы, так как , так как . А вот функции 5x и x–линейно зависимы, так как их отношение .

Теорема. Если и –линейно независимые частные решения линейного однородного уравнения второго порядка, то их линейная комбинация , где и –произвольные постоянные, является общим решением этого уравнения.

Доказательство. В силу теорем 1 и 2 (и следствия к ним) является решением уравнения (9) при любом выборе постоянных и .

Если решения и –линейно независимы, то –общее решение, так как это решение содержит две произвольные постоянные, которые не могут быть сведены к одной.

В тоже время, если бы и были линейно зависимыми решениями, то уже не являлось бы общим решением. В этом случае , где α–константа. Тогда , где является постоянной. не может быть общим решением дифференциального уравнения второго порядка, так как зависит лишь от одной постоянной.

Итак, общее решение уравнения (9):

(11)

где и –линейно независимые частные решения этого уравнения, а и –произвольные постоянные.

 

4. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Пусть линейное однородное дифференциальное уравнение (9) имеет постоянные коэффициенты p и q. Будем искать частные решения этого уравнения в виде

где

(12)

Найдем и из формулы (12):

Подставим в уравнение (9). Получим: Но . Поэтому

(13)

Квадратное уравнение (13), из которого определяется число k, называется характеристическим уравнением данного линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Заметим, что для составления характеристического уравнения достаточно в дифференциальном уравнении производные и заменить на k и , а функцию y рассматривать как производную нулевого порядка и y заменить на , то есть на единицу.

Например, характеристическое уравнение дифференциального уравнения имеет вид .

Решим характеристическое уравнение.

(14)

При этих значениях k функции будут решениями уравнения (9).

Возможны три различных случая.

Случай I. Если , то корни характеристического уравнения действительны и различны, то есть . Тогда частными решениями уравнения (9) будут функции и . Эти функции линейно независимы и, следовательно, общим решением линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами будет:

(15)

Пример 10. Найти общее решение уравнения .

Решение. Составим характеристическое уравнение и найдем его корни.

.

Тогда общее решение дифференциального уравнения составляем по формуле (15):

Случай II. Если , то в силу формулы (14) характеристическое уравнение (13) имеет равные корни . Такие корни называются кратными. В этом случае одно частное решение дифференциального уравнения будет . Другое частное решение, линейно независимое с , следует выбрать так, чтобы Тогда , что и означает, что и –линейно независимы. Найдем , определив функцию , подставляя в дифференциальное уравнение. . Тогда

Подставляя и в уравнение , получим . Вынося за скобки общий множитель и сокращая на него, что возможно, так как , получим далее или и . Но , поэтому имеем , откуда и , где a и b–постоянные. Но так как мы ищем какое–либо частное решение дифференциального уравнения, то можно взять и . Тогда , a или .

Таким образом, мы имеем два линейно независимых частных решения линейного уравнения: и . Тогда общее решение этого уравнения будет иметь вид:

или

(16)

Пример 11. Решить дифференциальное уравнение

.

Решение. Составим характеристическое уравнение этого дифференциального уравнения: . Тогда и . Общее решение данного дифференциального уравнения составляем по формуле (16): .

Случай III. Если , то на основании формулы (14) характеристическое уравнение (13) имеет комплексные корни: где . Таким образом, Тогда частные решения линейного однородного уравнения будут иметь вид:

Тогда общее решение уравнения формально можно записать так: , где и –некоторые комплексные постоянные, подобранные таким образом, чтобы общее решение было действительным. Избавимся в последнем выражении от мнимых величин, воспользовавшись формулами Эйлера:

Отсюда где и –какие угодно (ввиду произвольности постоянных и` ) действительные постоянные. Таким образом, если характеристическое уравнение имеет комплексные корни, то общее решение линейного однородного уравнения находится по формуле:

(17)

Пример 12. Составить общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Составим характеристическое уравнение и найдем его корни. Имеем . Отсюда . Тогда согласно формуле (17) получаем общее решение данного дифференциального уравнения .

В заключение этого пункта составим таблицу, использование которой облегчает студенту отыскание общего решения уравнения

.

N

1

2

3

 

4

 


Метод интегрирования по частям