Emporio Armani мужские    часы

Emporio Armani мужские часы

Гуманитарные науки

У нас студенты зарабатывают деньги

 Дипломы, работы на заказ, недорого

Дипломы, работы на заказ, недорого

 Cкачать    курсовую

Cкачать курсовую

 Контрольные работы

Контрольные работы

 Репетиторы онлайн по английскому

Репетиторы онлайн по английскому

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

Математика Примеры решения задач

Примеры вычисления интегралов, задачи на ряды


Линейные неоднородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Рассмотрим линейное неоднородное уравнение второго порядка

(18)

где p и q–постоянные числа, а –заданная функция. Имеет место теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения.

Теорема. Общее решение линейного неоднородного уравнения (18) равно сумме какого–нибудь частного решения этого уравнения и общего решения соответствующего однородного уравнения . Среди перечисленных дифференциальных уравнений найти уравнения в полных дифференциалах

Доказательство. Нужно доказать, что сумма есть общее решение уравнения (18). Подставим эту функцию в уравнение. Имеем или, учитывая, что производная суммы равна сумме производных, получим

.

Получили тождество, так как выражение, стоящее в первых скобках тождественно равно нулю в силу того, что –решение однородного уравнения, а выражение во вторых скобках равно , так как является решением неоднородного уравнения. Следовательно,

(19)

является решением линейного неоднородного уравнения. И при этом оно будет общим решением, так как в его состав в силу того, что , входят две произвольные постоянные.

Таким образом, если известно общее решение однородного уравнения, то основная задача при интегрировании неоднородного уравнения (18) сводится к нахождению какого–либо его частного решения

Рассмотрим метод неопределенных коэффициентов, с помощью которого в некоторых случаях можно определить решение неоднородного уравнения.

Случай I. Правая часть уравнения (18) есть показательная функция

.

Ищем частное решение уравнения также в форме показательной функции ПРИМЕР. Найти неопределённый интеграл .

,

(20)

где A–неопределенный коэффициент. Отсюда , . Подставим в уравнение

(21)

выражения для и его производных, получим: . Сократив обе части уравнения на , получим .

Здесь возможны два случая:

1)m не является корнем характеристического уравнения, то есть . Тогда можно найти неизвестный коэффициент A. Получим . И тогда .

2)Число m является корнем характеристического уравнения, то есть . Тогда A найти нельзя и частное решение уравнения (21) нельзя представить в виде .

В этом случае а) если один корень характеристического уравнения равен m, а другой отличен от m, то частное решение уравнения (21) следует искать в виде и б) если оба корня характеристического уравнения равны m, то частное решение ищут в виде .

Проверим, например, что в том случае, если m –однократный корень характеристического уравнения, то есть . Подставим в уравнение (21) и его первую и вторую производные. Если , то и тогда имеем

Так как , то , а (см. формулу 14). Значит, неизвестный коэффициент и , где A уже известно. Но если оба корня характеристического корня равны m, то есть , что и означает, что , то невозможно найти в виде , а, как было сказано выше, его ищут в виде .

Пример 13. Решить уравнение .

Решение. Найдем общее решение однородного линейного уравнения . Для этого составим характеристическое уравнение . Его корни .

Тогда общее решение однородного уравнения . Ищем теперь частное решение неоднородного уравнения. Так как один корень характеристического уравнения совпадает с числом m=–1, то . Найдем и и подставим в данное уравнение и Имеем

. Тогда .

Отсюда и .

Общее решение неоднородного уравнения составим по формуле . Имеем .

Случай II. Пусть правая часть уравнения (18) представляет собой произведение показательной функции на многочлен, то есть имеет вид где –многочлен n–й степени, то есть .

Тогда возможны следующие частные случаи.

1)Число m не является корнем характеристического уравнения . В этом случае частное решение нужно искать в виде

.

Действительно, найдем и .

. Подставим и в уравнение с правой частью . Тогда имеем после сокращения на :

(22)

Здесь –многочлен n–й степени, –многочлен степени
n–1, –многочлен степени n–2. Таким образом, слева и справа от знака равенства стоят многочлены n–й степени. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получим систему для определения коэффициентов

2)Число m является корнем характеристического уравнения, то есть . Тогда в уравнении (22) справа стоит многочлен степени n, а слева коэффициент при равен нулю, что означает, что в этой части уравнения стоит многочлен степени ниже, чем n. Тогда уравнение (22) ни при каких значениях не может быть тождеством. Таким образом частное решение не может быть найдено в виде .

В этом случае а)если один корень характеристического уравнения равен m, а другой отличен от m, то частное решение ищут в виде и б)если оба корня , то частное решение ищут в виде .

Действительно, если решение ищут в виде , то мы имеем здесь многочлен степени . Тогда в уравнении (22) в левой части стоит многочлен степени n, так как , а производная многочлена степени будет многочленом степени n. Аналогично рассуждаем и в том случае, когда .

Пример 14. Решить уравнение .

Решение. Находим общее решение уравнения . Корни характеристического уравнения равны . Тогда .

Число и не совпадает ни с одним из корней характеристического уравнения. Тогда частное решение неоднородного уравнения ищем в виде , где –многочлен первой степени с неопределенными коэффициентами. Найдем первую и вторую производные от

Подставим и в исходное уравнение, сократим его на и получим уравнение .

Отсюда . Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x в левой и правой частях последнего уравнения:

x

2A=1

 

 

 

 

Þ

 

Þ

 

x0

3A+2B=0

 

 

Таким образом, , а общее решение исходного уравнения имеет вид: .

Замечание. Если правая часть линейного неоднородного уравнения имеет вид , то это является частным случаем при . Тогда все рассмотренное для случая II остается справедливым и при . Так, если 1) среди корней характеристического уравнения нет равных 0, то частное решение ищут в виде ; 2) если , то ; 3) если , то .

Случай III. Пусть правая часть неоднородного уравнения (18) представлена в виде тригонометрического полинома

.

Ищем частное решение уравнения также в форме тригонометрического полинома

(23)

где A и B–неопределенные коэффициенты. Найдем и :

Подставим и в уравнение

.

Имеем

Так как последнее равенство представляет собой тождество, то коэффициенты при и в левой и правой его частях должны быть равны друг другу:

Мы получили систему для определения коэффициентов A и B:

(24)

Эта система совместна, если ее определитель

 

 

∆=

 

 

 

 

Но так как , то очевидно, что лишь при . А это соответствует тому, что характеристическое уравнение , корни которого равны в этом случае имеет корни

Таким образом

1)если , то ;

2)если , то система (24) несовместна и тогда коэффициенты A и B из нее найти нельзя, значит, решение придется искать не в виде (23), а иначе: .

Пример 15. Решить уравнение .

Решение. Характеристическое уравнение соответствующего однородного уравнения имеет корни . Тогда общее решение однородного уравнения имеет вид: .

Найдем теперь частное решение неоднородного уравнения. По виду правой части уравнения определяем число . Оно здесь равно 1, а так как , то и, следовательно, частное решение уравнения с правой частью cosx будет иметь вид Подставляя в уравнение и , получим:

Приравнивая коэффициенты при cosx и sinx в левой и правой частях последнего соотношения, получаем и , откуда имеем и .

Тогда

Замечание. Если правая часть линейного неоднородного уравнения (18) имеет вид , где и –многочлены от x, то форма частного решения определяется так:

а)если число не является корнем характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде , где и –многочлены, степень которых равна наивысшей степени многочленов и ;

б)если число является корнем характеристического уравнения, то . При этом надо отметить, что указанные формы частных решений сохраняются и в том случае если в правой части уравнения отсутствует одно из слагаемых или , то есть если один из многочленов или тождественно равен нулю.

Подытожим все вышесказанное о виде частного решения уравнения , составив в заключение таблицу.

 

Примечание

I

1

2

3

A–неопределенный коэффициент

II

, где

1

2

3

, где – неопределенные коэффициенты

III

1

2

3

Частные случаи:

IV

1

2

 

 

V

где степени многочленов и могут быть разными, и один из многочленов может быть тождественно равен нулю.

1

2

Степень многочленов и равна максимальной из степеней многочленов и .

Принцип наложения решений. Решение уравнения , где правая часть есть сумма функций и , можно представить в виде суммы , где и являются соответственно решениями уравнений и .


Метод интегрирования по частям