Математика Примеры решения задач

Примеры вычисления интегралов, задачи на ряды


Линейные неоднородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Рассмотрим линейное неоднородное уравнение второго порядка

(18)

где p и q–постоянные числа, а –заданная функция. Имеет место теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения.

Теорема. Общее решение линейного неоднородного уравнения (18) равно сумме какого–нибудь частного решения этого уравнения и общего решения соответствующего однородного уравнения . Среди перечисленных дифференциальных уравнений найти уравнения в полных дифференциалах

Доказательство. Нужно доказать, что сумма есть общее решение уравнения (18). Подставим эту функцию в уравнение. Имеем или, учитывая, что производная суммы равна сумме производных, получим

.

Получили тождество, так как выражение, стоящее в первых скобках тождественно равно нулю в силу того, что –решение однородного уравнения, а выражение во вторых скобках равно , так как является решением неоднородного уравнения. Следовательно,

(19)

является решением линейного неоднородного уравнения. И при этом оно будет общим решением, так как в его состав в силу того, что , входят две произвольные постоянные.

Таким образом, если известно общее решение однородного уравнения, то основная задача при интегрировании неоднородного уравнения (18) сводится к нахождению какого–либо его частного решения

Рассмотрим метод неопределенных коэффициентов, с помощью которого в некоторых случаях можно определить решение неоднородного уравнения.

Случай I. Правая часть уравнения (18) есть показательная функция

.

Ищем частное решение уравнения также в форме показательной функции ПРИМЕР. Найти неопределённый интеграл .

,

(20)

где A–неопределенный коэффициент. Отсюда , . Подставим в уравнение

(21)

выражения для и его производных, получим: . Сократив обе части уравнения на , получим .

Здесь возможны два случая:

1)m не является корнем характеристического уравнения, то есть . Тогда можно найти неизвестный коэффициент A. Получим . И тогда .

2)Число m является корнем характеристического уравнения, то есть . Тогда A найти нельзя и частное решение уравнения (21) нельзя представить в виде .

В этом случае а) если один корень характеристического уравнения равен m, а другой отличен от m, то частное решение уравнения (21) следует искать в виде и б) если оба корня характеристического уравнения равны m, то частное решение ищут в виде .

Проверим, например, что в том случае, если m –однократный корень характеристического уравнения, то есть . Подставим в уравнение (21) и его первую и вторую производные. Если , то и тогда имеем

Так как , то , а (см. формулу 14). Значит, неизвестный коэффициент и , где A уже известно. Но если оба корня характеристического корня равны m, то есть , что и означает, что , то невозможно найти в виде , а, как было сказано выше, его ищут в виде .

Пример 13. Решить уравнение .

Решение. Найдем общее решение однородного линейного уравнения . Для этого составим характеристическое уравнение . Его корни .

Тогда общее решение однородного уравнения . Ищем теперь частное решение неоднородного уравнения. Так как один корень характеристического уравнения совпадает с числом m=–1, то . Найдем и и подставим в данное уравнение и Имеем

. Тогда .

Отсюда и .

Общее решение неоднородного уравнения составим по формуле . Имеем .

Случай II. Пусть правая часть уравнения (18) представляет собой произведение показательной функции на многочлен, то есть имеет вид где –многочлен n–й степени, то есть .

Тогда возможны следующие частные случаи.

1)Число m не является корнем характеристического уравнения . В этом случае частное решение нужно искать в виде

.

Действительно, найдем и .

. Подставим и в уравнение с правой частью . Тогда имеем после сокращения на :

(22)

Здесь –многочлен n–й степени, –многочлен степени
n–1, –многочлен степени n–2. Таким образом, слева и справа от знака равенства стоят многочлены n–й степени. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получим систему для определения коэффициентов

2)Число m является корнем характеристического уравнения, то есть . Тогда в уравнении (22) справа стоит многочлен степени n, а слева коэффициент при равен нулю, что означает, что в этой части уравнения стоит многочлен степени ниже, чем n. Тогда уравнение (22) ни при каких значениях не может быть тождеством. Таким образом частное решение не может быть найдено в виде .

В этом случае а)если один корень характеристического уравнения равен m, а другой отличен от m, то частное решение ищут в виде и б)если оба корня , то частное решение ищут в виде .

Действительно, если решение ищут в виде , то мы имеем здесь многочлен степени . Тогда в уравнении (22) в левой части стоит многочлен степени n, так как , а производная многочлена степени будет многочленом степени n. Аналогично рассуждаем и в том случае, когда .

Пример 14. Решить уравнение .

Решение. Находим общее решение уравнения . Корни характеристического уравнения равны . Тогда .

Число и не совпадает ни с одним из корней характеристического уравнения. Тогда частное решение неоднородного уравнения ищем в виде , где –многочлен первой степени с неопределенными коэффициентами. Найдем первую и вторую производные от

Подставим и в исходное уравнение, сократим его на и получим уравнение .

Отсюда . Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x в левой и правой частях последнего уравнения:

x

2A=1

 

 

 

 

Þ

 

Þ

 

x0

3A+2B=0

 

 

Таким образом, , а общее решение исходного уравнения имеет вид: .

Замечание. Если правая часть линейного неоднородного уравнения имеет вид , то это является частным случаем при . Тогда все рассмотренное для случая II остается справедливым и при . Так, если 1) среди корней характеристического уравнения нет равных 0, то частное решение ищут в виде ; 2) если , то ; 3) если , то .

Случай III. Пусть правая часть неоднородного уравнения (18) представлена в виде тригонометрического полинома

.

Ищем частное решение уравнения также в форме тригонометрического полинома

(23)

где A и B–неопределенные коэффициенты. Найдем и :

Подставим и в уравнение

.

Имеем

Так как последнее равенство представляет собой тождество, то коэффициенты при и в левой и правой его частях должны быть равны друг другу:

Мы получили систему для определения коэффициентов A и B:

(24)

Эта система совместна, если ее определитель

 

 

∆=

 

 

 

 

Но так как , то очевидно, что лишь при . А это соответствует тому, что характеристическое уравнение , корни которого равны в этом случае имеет корни

Таким образом

1)если , то ;

2)если , то система (24) несовместна и тогда коэффициенты A и B из нее найти нельзя, значит, решение придется искать не в виде (23), а иначе: .

Пример 15. Решить уравнение .

Решение. Характеристическое уравнение соответствующего однородного уравнения имеет корни . Тогда общее решение однородного уравнения имеет вид: .

Найдем теперь частное решение неоднородного уравнения. По виду правой части уравнения определяем число . Оно здесь равно 1, а так как , то и, следовательно, частное решение уравнения с правой частью cosx будет иметь вид Подставляя в уравнение и , получим:

Приравнивая коэффициенты при cosx и sinx в левой и правой частях последнего соотношения, получаем и , откуда имеем и .

Тогда

Замечание. Если правая часть линейного неоднородного уравнения (18) имеет вид , где и –многочлены от x, то форма частного решения определяется так:

а)если число не является корнем характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде , где и –многочлены, степень которых равна наивысшей степени многочленов и ;

б)если число является корнем характеристического уравнения, то . При этом надо отметить, что указанные формы частных решений сохраняются и в том случае если в правой части уравнения отсутствует одно из слагаемых или , то есть если один из многочленов или тождественно равен нулю.

Подытожим все вышесказанное о виде частного решения уравнения , составив в заключение таблицу.

 

Примечание

I

1

2

3

A–неопределенный коэффициент

II

, где

1

2

3

, где – неопределенные коэффициенты

III

1

2

3

Частные случаи:

IV

1

2

 

 

V

где степени многочленов и могут быть разными, и один из многочленов может быть тождественно равен нулю.

1

2

Степень многочленов и равна максимальной из степеней многочленов и .

Принцип наложения решений. Решение уравнения , где правая часть есть сумма функций и , можно представить в виде суммы , где и являются соответственно решениями уравнений и .


Пипшоу - услуга, которую предоставляют самые изумительные шалавы Запорожья http://prostitutkizaporozhye.biz/pipshou/, и ежели потребуете, валютницы сумеют встретить вас на квартире. | Как полагается для вас делают все возможное самые совершенные и популярные шалашовки. Дорогие проститутки станут уместным решением. Только эти девушки способны без остатка напоить любовью абонента. Метод интегрирования по частям