Emporio Armani мужские    часы

Emporio Armani мужские часы

Гуманитарные науки

У нас студенты зарабатывают деньги

 Дипломы, работы на заказ, недорого

Дипломы, работы на заказ, недорого

 Cкачать    курсовую

Cкачать курсовую

 Контрольные работы

Контрольные работы

 Репетиторы онлайн по английскому

Репетиторы онлайн по английскому

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

Математика Примеры решения задач

Примеры вычисления интегралов, задачи на ряды


Достаточные признаки сходимости знакоположительных числовых рядов

Нахождение суммы ряда часто связано с большими техническими трудностями. В таких случаях сумму находят приближенно: . Последнее равенство тем точнее, чем больше n, при условии, что ряд сходится. Сходимость или расходимость ряда во многих случаях можно установить с помощью достаточных признаков сходимости числовых рядов.

Будем сначала рассматривать числовые ряды с положительными членами: , n=1,2,3, …. Для таких рядов частичные суммы , , …, , … образуют возрастающую числовую последовательность

.

Возможны два случая:

последовательность частичных сумм неограничена; в этом случае и ряд расходится;

последовательность частичных сумм ограничена, то есть существует такое число , что при .В этом случае существует конечный , следовательно, ряд сходится. Таким образом для доказательства того, что знакоположительный числовой ряд сходится, достаточно доказать ограниченность последовательности его частичных сумм. Главные значения расходящихся несобственных интегралов К несобственным интегралам относятся так называемые интегралы в смысле главного значения. Если несобственный интеграл существует (сходится), то существует и интеграл в смысле главного значения и эти интегралы совпадают. Из существования интеграла в смысле главного значения не следует существование (сходность) соответствующего несобственного интеграла. Рассмотрим подробнее главные значения расходящихся несобственных интегралов по бесконечному промежутку и от разрывных функций.

Теорема: (признак сравнения)

Даны два знакоположительных числовых ряда

(1)

(2)

причем при всех .

Тогда:

1)если ряд (2) сходится, то сходится и ряд (1);

Числовые последовательности и операции над ними Числовые последовательности представляют собой бесконечные множества чисел. Примерами последовательностей могут служить: последовательность всех членов бесконечной геометрической прогрессии, последовательность приближенных значений (x1 = 1, х2 = 1,4, х3 = 1,41, ...), последовательность периметров правильных n-угольников, вписанных в данную окружность. Уточним понятие числовой последовательности.

2)если ряд (1) расходится, то расходится и ряд (2).

Доказательство: Обозначим n–е частичные суммы рядов (1) и (2): . Пусть ряд (2) сходится. Это означает, что существует конечный . По условию , поэтому при всех , то есть последовательность { } ограничена, следовательно, ряд (1) сходится. Пусть теперь ряд (1) расходится, то есть . Тогда из неравенства следует, что , следовательно, ряд (2) расходится.

Замечания:

В силу теоремы 3 признак сравнения справедлив и в случае, если начиная с некоторого номера k, то есть при .

Чтобы пользоваться признаком сравнения, нужно иметь для сравнения ряды, про которые заранее известно, сходятся они или расходятся. В качестве таких рядов можно использовать сходящуюся бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, а также обобщенные гармонические ряды , где k–действительное число. Несколько позже мы докажем, что при такие ряды расходятся, а при – сходятся. При получаем расходящийся ряд , который называется гармоническим рядом.

Пример: Исследовать на сходимость ряд

Рассмотрим расходящийся ряд Он получен из гармонического ряда отбрасыванием . Так как при любом , то поэтому данный ряд расходится по признаку сравнения.

Теорема: (предельный признак сравнения)

Даны два знакоположительных числовых ряда

(1)

(2)

Если существует конечный предел , то ряды (1) и (2) сходятся или расходятся одновременно.

Доказательство: По условию теоремы существует . Это означает, что для любого положительного числа e существует такой номер N, что для всех номеров выполняется условие Последнее неравенство равносильно двойному неравенству

или или

(3)

Пусть (ведь неравенство (3) верно при любом и любом ). Если ряд (2) сходится, то сходится и ряд по теореме 1. Учитывая (3), по признаку сравнения сходится ряд (1).Если по условию ряд (1) сходится, то по признаку сравнения, учитывая (3), сходится ряд , тогда по теореме 1 сходится ряд (2).

Аналогично доказывается, что из расходимости одного из рядов следует расходимость другого ряда. Рекомендуем эту часть доказать самостоятельно.

Замечание: Предельный признак сравнения рекомендуется применять в тех случаях, когда общий член ряда представляет собой отношение степенных функций. Для сравнения выбирается обобщенный гармонический ряд, общий член которого равен отношению старших степеней числителя и знаменателя общего члена данного ряда.

Пример: Исследовать на сходимость ряд

.

Возьмем для сравнения ряд с общим членом то есть расходящийся гармонический ряд . , применим предельный признак сравнения.

, следовательно, данный ряд расходится по предельному признаку сравнения.

Теорема: (признак Даламбера)

Пусть дан знакоположительный числовой ряд

(1)

и пусть существует . При r<1 ряд сходится, при r>1 ряд расходится.

Доказательство: По условию существует . Это означает, что для любого положительного числа e существует такой номер N, что для всех номеров выполняется условие

или

(2)

Пусть сначала . Выберем e так, что . Для всех n³N имеем:

, , , … или

, , ,… или

, ,

(3)

Рассмотрим ряды:

(4)

(5)

Ряд (5) сходится, так это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Тогда ряд (4) сходится по признаку сравнения (следует из (3)). Ряд (1) сходится по теореме 3. Пусть теперь r>1. Выберем e так, что Тогда из левой часть неравенства (2) следует, что при n³N или , то есть члены ряда возрастают с возрастанием номера n. Поэтому , следовательно, ряд расходится по следствию из необходимого признака сходимости. Теорема доказана.

Замечания.

Если расходимость ряда установлена с помощью признака Даламбера, то

При r=1 признак Даламбера не дает ответа о сходимости ряда. В таких случаях нужно применять другие признаки сходимости.

Признак Даламбера рекомендуем применять при наличии в выражении общего члена ряда показательной функции или факториала.

Пример: Исследовать на сходимость ряд

Применим признак Даламбера

.

следовательно, ряд сходится.

Теорема: (признак Коши)

Пусть дан знакоположительный числовой ряд

(1)

и пусть существует .

При r<1 ряд сходится, при r>1 ряд расходится.

Доказательство: По условию существует . Это означает, что для любого положительного числа e существует такой номер N, что для всех n³N выполняется условие: или

(2)

Пусть r<1. Выберем e таким, чтобы выполнялось r+e=q<1.

Тогда из (2) получаем или для всех n³N.

Рассмотрим ряды:

(3)

(4)

Ряд (4) сходится, так как это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия; ряд (3) сходится по признаку сравнения следовательно, по теореме (3) сходится ряд (1).

Пусть теперь r>1. Выберем e так, чтобы выполнялось условие: .Тогда из (2) получаем или Un>1, значит и ряд (1) расходится по следствию из необходимого признака сходимости. Теорема доказана.

Теорема: (интегральный признак Коши)

Пусть члены знакоположительного числового ряда

(1)

не возрастают: U1³U2³³Un³… и пусть такая положительная, непрерывная, невозрастающая на промежутке [1;¥) функция, что

Тогда ряд (1) сходится или расходится одновременно с несобственным интегралом .

Доказательство:

Построим график функции на отрезке и построим прямоугольники с основаниями и высотами U1, U2, … Un–1, а также с высотами U2, U3, … Un.

Sn=U1+U2+…+Un–1+Un, Sвпис=U2·1+U3·1+…+Un·1=U2+U3+…+Un=Sn–U1, Sопис=U1+U2+…+Un–1=Sn–Un

 

Площадь криволинейной трапеции Получаем

.

Отсюда

(2)

(3)

Пусть сходится. Это означает, что существует конечный предел . Соотношение (2) принимает вид: при любом n. Это означает, что последовательность частичных сумм ряда (1) ограничена, следовательно, ряд (1) сходится.

Пусть расходится. Это означает, что и тогда из (3) следует, что последовательность частичных сумм ряда (1) неограничена, следовательно, ряд (1) расходится.

Пример. Исследуем с помощью интегрального признака обобщенный гармонический ряд .

. При имеем

.

При k=1 имеем

Таким образом, обобщенный гармонический ряд сходится при k>1 и расходится при k£1.


Индивидуалка Виктория Москва т.8 965 436-34-15 Метод интегрирования по частям