Математика Примеры решения задач

Примеры вычисления интегралов, задачи на ряды


Достаточные признаки сходимости знакоположительных числовых рядов

Нахождение суммы ряда часто связано с большими техническими трудностями. В таких случаях сумму находят приближенно: . Последнее равенство тем точнее, чем больше n, при условии, что ряд сходится. Сходимость или расходимость ряда во многих случаях можно установить с помощью достаточных признаков сходимости числовых рядов.

Будем сначала рассматривать числовые ряды с положительными членами: , n=1,2,3, …. Для таких рядов частичные суммы , , …, , … образуют возрастающую числовую последовательность

.

Возможны два случая:

последовательность частичных сумм неограничена; в этом случае и ряд расходится;

последовательность частичных сумм ограничена, то есть существует такое число , что при .В этом случае существует конечный , следовательно, ряд сходится. Таким образом для доказательства того, что знакоположительный числовой ряд сходится, достаточно доказать ограниченность последовательности его частичных сумм. Главные значения расходящихся несобственных интегралов К несобственным интегралам относятся так называемые интегралы в смысле главного значения. Если несобственный интеграл существует (сходится), то существует и интеграл в смысле главного значения и эти интегралы совпадают. Из существования интеграла в смысле главного значения не следует существование (сходность) соответствующего несобственного интеграла. Рассмотрим подробнее главные значения расходящихся несобственных интегралов по бесконечному промежутку и от разрывных функций.

Теорема: (признак сравнения)

Даны два знакоположительных числовых ряда

(1)

(2)

причем при всех .

Тогда:

1)если ряд (2) сходится, то сходится и ряд (1);

Числовые последовательности и операции над ними Числовые последовательности представляют собой бесконечные множества чисел. Примерами последовательностей могут служить: последовательность всех членов бесконечной геометрической прогрессии, последовательность приближенных значений (x1 = 1, х2 = 1,4, х3 = 1,41, ...), последовательность периметров правильных n-угольников, вписанных в данную окружность. Уточним понятие числовой последовательности.

2)если ряд (1) расходится, то расходится и ряд (2).

Доказательство: Обозначим n–е частичные суммы рядов (1) и (2): . Пусть ряд (2) сходится. Это означает, что существует конечный . По условию , поэтому при всех , то есть последовательность { } ограничена, следовательно, ряд (1) сходится. Пусть теперь ряд (1) расходится, то есть . Тогда из неравенства следует, что , следовательно, ряд (2) расходится.

Замечания:

В силу теоремы 3 признак сравнения справедлив и в случае, если начиная с некоторого номера k, то есть при .

Чтобы пользоваться признаком сравнения, нужно иметь для сравнения ряды, про которые заранее известно, сходятся они или расходятся. В качестве таких рядов можно использовать сходящуюся бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, а также обобщенные гармонические ряды , где k–действительное число. Несколько позже мы докажем, что при такие ряды расходятся, а при – сходятся. При получаем расходящийся ряд , который называется гармоническим рядом.

Пример: Исследовать на сходимость ряд

Рассмотрим расходящийся ряд Он получен из гармонического ряда отбрасыванием . Так как при любом , то поэтому данный ряд расходится по признаку сравнения.

Теорема: (предельный признак сравнения)

Даны два знакоположительных числовых ряда

(1)

(2)

Если существует конечный предел , то ряды (1) и (2) сходятся или расходятся одновременно.

Доказательство: По условию теоремы существует . Это означает, что для любого положительного числа e существует такой номер N, что для всех номеров выполняется условие Последнее неравенство равносильно двойному неравенству

или или

(3)

Пусть (ведь неравенство (3) верно при любом и любом ). Если ряд (2) сходится, то сходится и ряд по теореме 1. Учитывая (3), по признаку сравнения сходится ряд (1).Если по условию ряд (1) сходится, то по признаку сравнения, учитывая (3), сходится ряд , тогда по теореме 1 сходится ряд (2).

Аналогично доказывается, что из расходимости одного из рядов следует расходимость другого ряда. Рекомендуем эту часть доказать самостоятельно.

Замечание: Предельный признак сравнения рекомендуется применять в тех случаях, когда общий член ряда представляет собой отношение степенных функций. Для сравнения выбирается обобщенный гармонический ряд, общий член которого равен отношению старших степеней числителя и знаменателя общего члена данного ряда.

Пример: Исследовать на сходимость ряд

.

Возьмем для сравнения ряд с общим членом то есть расходящийся гармонический ряд . , применим предельный признак сравнения.

, следовательно, данный ряд расходится по предельному признаку сравнения.

Теорема: (признак Даламбера)

Пусть дан знакоположительный числовой ряд

(1)

и пусть существует . При r<1 ряд сходится, при r>1 ряд расходится.

Доказательство: По условию существует . Это означает, что для любого положительного числа e существует такой номер N, что для всех номеров выполняется условие

или

(2)

Пусть сначала . Выберем e так, что . Для всех n³N имеем:

, , , … или

, , ,… или

, ,

(3)

Рассмотрим ряды:

(4)

(5)

Ряд (5) сходится, так это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Тогда ряд (4) сходится по признаку сравнения (следует из (3)). Ряд (1) сходится по теореме 3. Пусть теперь r>1. Выберем e так, что Тогда из левой часть неравенства (2) следует, что при n³N или , то есть члены ряда возрастают с возрастанием номера n. Поэтому , следовательно, ряд расходится по следствию из необходимого признака сходимости. Теорема доказана.

Замечания.

Если расходимость ряда установлена с помощью признака Даламбера, то

При r=1 признак Даламбера не дает ответа о сходимости ряда. В таких случаях нужно применять другие признаки сходимости.

Признак Даламбера рекомендуем применять при наличии в выражении общего члена ряда показательной функции или факториала.

Пример: Исследовать на сходимость ряд

Применим признак Даламбера

.

следовательно, ряд сходится.

Теорема: (признак Коши)

Пусть дан знакоположительный числовой ряд

(1)

и пусть существует .

При r<1 ряд сходится, при r>1 ряд расходится.

Доказательство: По условию существует . Это означает, что для любого положительного числа e существует такой номер N, что для всех n³N выполняется условие: или

(2)

Пусть r<1. Выберем e таким, чтобы выполнялось r+e=q<1.

Тогда из (2) получаем или для всех n³N.

Рассмотрим ряды:

(3)

(4)

Ряд (4) сходится, так как это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия; ряд (3) сходится по признаку сравнения следовательно, по теореме (3) сходится ряд (1).

Пусть теперь r>1. Выберем e так, чтобы выполнялось условие: .Тогда из (2) получаем или Un>1, значит и ряд (1) расходится по следствию из необходимого признака сходимости. Теорема доказана.

Теорема: (интегральный признак Коши)

Пусть члены знакоположительного числового ряда

(1)

не возрастают: U1³U2³³Un³… и пусть такая положительная, непрерывная, невозрастающая на промежутке [1;¥) функция, что

Тогда ряд (1) сходится или расходится одновременно с несобственным интегралом .

Доказательство:

Построим график функции на отрезке и построим прямоугольники с основаниями и высотами U1, U2, … Un–1, а также с высотами U2, U3, … Un.

Sn=U1+U2+…+Un–1+Un, Sвпис=U2·1+U3·1+…+Un·1=U2+U3+…+Un=Sn–U1, Sопис=U1+U2+…+Un–1=Sn–Un

 

Площадь криволинейной трапеции Получаем

.

Отсюда

(2)

(3)

Пусть сходится. Это означает, что существует конечный предел . Соотношение (2) принимает вид: при любом n. Это означает, что последовательность частичных сумм ряда (1) ограничена, следовательно, ряд (1) сходится.

Пусть расходится. Это означает, что и тогда из (3) следует, что последовательность частичных сумм ряда (1) неограничена, следовательно, ряд (1) расходится.

Пример. Исследуем с помощью интегрального признака обобщенный гармонический ряд .

. При имеем

.

При k=1 имеем

Таким образом, обобщенный гармонический ряд сходится при k>1 и расходится при k£1.


Метод интегрирования по частям