Emporio Armani мужские    часы

Emporio Armani мужские часы

Гуманитарные науки

У нас студенты зарабатывают деньги

 Дипломы, работы на заказ, недорого

Дипломы, работы на заказ, недорого

 Cкачать    курсовую

Cкачать курсовую

 Контрольные работы

Контрольные работы

 Репетиторы онлайн по английскому

Репетиторы онлайн по английскому

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

Математика Примеры решения задач

Примеры вычисления интегралов, задачи на ряды


Остаток ряда и его оценка

Рассмотрим сходящийся ряд

(1)

Вычисление суммы ряда обычно технически очень сложно. Поэтому в качестве S берут Sn:S»Sn. Точность последнего равенства возрастает с увеличением n.

Определение: Если числовой ряд сходится, то разность Rn=S–Sn называется n–м остатком ряда.

Таким образом, Rn представляет собой сходящийся числовой ряд:

Rn=Un+1+Un+2+…

Заметим, что .

Абсолютная погрешность при замене суммы ряда S его частичной суммой Sn равна |Rn|=|S–Sn|. Найти интегралы от рациональных дробей

Таким образом, если требуется найти сумму ряда с точностью до e>0, то надо взять сумму такого числа n первых членов ряда, чтобы выполнялось условие: |Rn|<e.

Однако в общем случает находить точно Rn не удается.

Понятие дифференциального уравнения первого порядка, решение ДУ, интегральная кривая, частное решение, начальные условия, задача Коши. Определение: Дифференциальным уравнением называется уравнение в котором неизвестная функция входит под знак производной или дифференциала.

Теорема: (об оценке остатка знакочередующегося числового ряда)

Если знакочередующийся числовой ряд сходится по признаку Лейбница, то его n–й остаток по абсолютной величине не превосходит модуля (n+1)–го члена ряда.

Доказательство: Пусть ряд сходится по признаку Лейбница. Тогда n–й остаток ряда Rn=±(Un+1–Un+2+Un+3–…) сам является суммой знакочередующегося числового ряда и по теореме Лейбница |Rn|£|Un+1|. Теорема доказана.

Пример: Вычислить с точностью до 0,01 сумму ряда .

Определение функциональной зависимости Пусть Х и Y — некоторые числовые множества и пусть каждому элементу x  Х по какому-либо закону f поставлен в соответствие один элемент у  Y. Тогда будем говорить, что определена функциональная зависимость у от x по закону у = f(x). При этом x называют независимой переменной (или аргументом), у — зависимой переменной, множество Х — областью определения (существования) функции, множество Y — областью значений (изменения) функции.

Очевидно, ряд сходится по признаку Лейбница. . Поэтому S»1–0,166»0,84.

 Функциональные ряды

Определение. Ряд, члены которого являются функциями, называется функциональным рядом. Его обозначают:

(1)

Определение. Если при ряд (1) сходится, то называется точкой сходимости ряда (1).

Определение. Множество всех значений , при которых функциональный ряд сходится, называется областью сходимости этого ряда.

Очевидно, что в области сходимости функционального ряда его сумма является функцией от . Будем ее обозначать .

Степенные ряды

Определение. Степенным рядом называется функциональный ряд вида:

(2)

где – некоторые числа, называемые коэффициентами степенного ряда.

Теорема (о структуре области сходимости степенного ряда).

Областью сходимости степенного ряда:

(2)

является интервал , к которому в зависимости от конкретных случаев могут быть присоединены точки и , где (если этот предел существует). В каждой точке интервала ряд сходится абсолютно.

Доказательство. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда:

(3)

 

Применим к ряду (3) признак Даламбера.

Возможны три случая.

1.Если или , или , то ряд (3) сходится. Но тогда по достаточному признаку сходимости знакопеременного ряда сходится и ряд (2), причем абсолютно.

2.Если , то ряд (3) расходится.

В этом случае , то есть при достаточно больших , значит и , следовательно, ряд (2) расходится по следствию из необходимого признака сходимости. Теорема доказана.

Определение. Интервал называется интервалом сходимости степенного ряда, а половина его длины называется радиусом сходимости степенного ряда.

Замечание. Всякий степенной ряд (2) сходится при . Если других точек сходимости у ряда (2) нет, то считают, что . Если степенной ряд сходится во всех точках числовой прямой, то считают, что .

Примеры. Найти область сходимости степенного ряда.

1.

Составим ряд из абсолютных величин членов данного ряда: и применим к нему признак Даламбера: , , .

Ряд сходится, если или –это и есть интервал сходимости. Исследуем концы этого интервала. При получаем знакоположительный числовой ряд . Этот ряд расходится как обобщенный гармонический ряд с . При получаем знакочередующийся числовой ряд . Применим к нему признак Лейбница.

1) > ,

2) , следовательно ряд сходится. Областью сходимости данного ряда является промежуток ; .

3. .

Составим ряд из абсолютных величин членов данного ряда и применим к нему признак Даламбера. , , , следовательно, областью сходимости данного ряда является одна точка ; .

 

3. .

Составим ряд из абсолютных величин членов данного ряда и применим к нему признак Даламбера. , , при всех , следовательно, областью сходимости данного ряда является промежуток ; .


У нас на сайте можно купить диплом в челябинске со скидкой. Метод интегрирования по частям