ТОЭ
Математика
Безопасность
Графика
АЭС
Контрольная
Расчеты
Дизайн

Токамак

Задачи
Черчение
Билеты
Аварии
Курсовая
Начертательная
Типовая

Примеры вычисления интегралов, задачи на ряды


Остаток ряда и его оценка

Рассмотрим сходящийся ряд

(1)

Вычисление суммы ряда обычно технически очень сложно. Поэтому в качестве S берут Sn:S»Sn. Точность последнего равенства возрастает с увеличением n.

Определение: Если числовой ряд сходится, то разность Rn=S–Sn называется n–м остатком ряда.

Таким образом, Rn представляет собой сходящийся числовой ряд:

Rn=Un+1+Un+2+…

Заметим, что .

Абсолютная погрешность при замене суммы ряда S его частичной суммой Sn равна |Rn|=|S–Sn|. Найти интегралы от рациональных дробей

Таким образом, если требуется найти сумму ряда с точностью до e>0, то надо взять сумму такого числа n первых членов ряда, чтобы выполнялось условие: |Rn|<e.

Однако в общем случает находить точно Rn не удается.

Понятие дифференциального уравнения первого порядка, решение ДУ, интегральная кривая, частное решение, начальные условия, задача Коши. Определение: Дифференциальным уравнением называется уравнение в котором неизвестная функция входит под знак производной или дифференциала.

Теорема: (об оценке остатка знакочередующегося числового ряда)

Если знакочередующийся числовой ряд сходится по признаку Лейбница, то его n–й остаток по абсолютной величине не превосходит модуля (n+1)–го члена ряда.

Доказательство: Пусть ряд сходится по признаку Лейбница. Тогда n–й остаток ряда Rn=±(Un+1–Un+2+Un+3–…) сам является суммой знакочередующегося числового ряда и по теореме Лейбница |Rn|£|Un+1|. Теорема доказана.

Пример: Вычислить с точностью до 0,01 сумму ряда .

Определение функциональной зависимости Пусть Х и Y — некоторые числовые множества и пусть каждому элементу x  Х по какому-либо закону f поставлен в соответствие один элемент у  Y. Тогда будем говорить, что определена функциональная зависимость у от x по закону у = f(x). При этом x называют независимой переменной (или аргументом), у — зависимой переменной, множество Х — областью определения (существования) функции, множество Y — областью значений (изменения) функции.

Очевидно, ряд сходится по признаку Лейбница. . Поэтому S»1–0,166»0,84.

 Функциональные ряды

Определение. Ряд, члены которого являются функциями, называется функциональным рядом. Его обозначают:

(1)

Определение. Если при ряд (1) сходится, то называется точкой сходимости ряда (1).

Определение. Множество всех значений , при которых функциональный ряд сходится, называется областью сходимости этого ряда.

Очевидно, что в области сходимости функционального ряда его сумма является функцией от . Будем ее обозначать .

Степенные ряды

Определение. Степенным рядом называется функциональный ряд вида:

(2)

где – некоторые числа, называемые коэффициентами степенного ряда.

Теорема (о структуре области сходимости степенного ряда).

Областью сходимости степенного ряда:

(2)

является интервал , к которому в зависимости от конкретных случаев могут быть присоединены точки и , где (если этот предел существует). В каждой точке интервала ряд сходится абсолютно.

Доказательство. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда:

(3)

 

Применим к ряду (3) признак Даламбера.

Возможны три случая.

1.Если или , или , то ряд (3) сходится. Но тогда по достаточному признаку сходимости знакопеременного ряда сходится и ряд (2), причем абсолютно.

2.Если , то ряд (3) расходится.

В этом случае , то есть при достаточно больших , значит и , следовательно, ряд (2) расходится по следствию из необходимого признака сходимости. Теорема доказана.

Определение. Интервал называется интервалом сходимости степенного ряда, а половина его длины называется радиусом сходимости степенного ряда.

Замечание. Всякий степенной ряд (2) сходится при . Если других точек сходимости у ряда (2) нет, то считают, что . Если степенной ряд сходится во всех точках числовой прямой, то считают, что .

Примеры. Найти область сходимости степенного ряда.

1.

Составим ряд из абсолютных величин членов данного ряда: и применим к нему признак Даламбера: , , .

Ряд сходится, если или –это и есть интервал сходимости. Исследуем концы этого интервала. При получаем знакоположительный числовой ряд . Этот ряд расходится как обобщенный гармонический ряд с . При получаем знакочередующийся числовой ряд . Применим к нему признак Лейбница.

1) > ,

2) , следовательно ряд сходится. Областью сходимости данного ряда является промежуток ; .

3. .

Составим ряд из абсолютных величин членов данного ряда и применим к нему признак Даламбера. , , , следовательно, областью сходимости данного ряда является одна точка ; .

 

3. .

Составим ряд из абсолютных величин членов данного ряда и применим к нему признак Даламбера. , , при всех , следовательно, областью сходимости данного ряда является промежуток ; .


Задачи

Материаловедение
Энергосбережение
Электроника
Информатика