Математика Примеры решения задач

Примеры вычисления интегралов, задачи на ряды


Свойства степенных рядов

Отметим здесь, без доказательства, три важных свойства степенных рядов.

1.Сумма степенного ряда

(2)

является непрерывной функцией в каждой точке интервала сходимости .

2.Ряд

,

(4)

Рассмотрим некоторые случаи рационализации интегралов, содержащих иррациональные функции.

полученный почленным дифференцированием ряда (2), является степенным рядом с тем же, что и ряд (2), интервалом сходимости . Сумма ряда (4) .

Замечание. Ряд (4) также можно почленно дифференцировать и сумма полученного после этого ряда равна , и так далее. Таким образом, сумма ряда (2) является бесконечно дифференцируемой функцией в интервале сходимости . Сумма ряда полученного из ряда (2) – кратным дифференцированием, равна . Область сходимости степенного ряда при дифференцировании не изменится. Асимптоты При исследовании функции часто приходится устанавливать вид ее графика (а, значит, и характер функции) при неограниченном удалении точки графика от начала координат (при стремлении переменной точки в бесконечность). При этом важным случаем является тот, когда график функции при удалении его переменной точки в бесконечность неограниченно приближается к некоторой прямой.

3. Пусть числа и принадлежат интервалу сходимости ряда (2). Тогда имеет место равенство

(5)

 

Разложение функций в степенные ряды

Пусть функция бесконечно дифференцируема в и является суммой степенного ряда: Управление и планирование являются наиболее сложными функциями в работе предприятий, фирм, служб администраций всех уровней. Долгое время они являлись монополией человека с соответствующей подготовкой и опытом работы. Совершенствование науки, техники, разделение труда усложнили принятие решений в управлении и планировании.

(1)

где –интервал сходимости ряда (1). В этом случае говорят, что функция разлагается в степенной ряд в окрестности точки или по степеням . Определим коэффициенты этого ряда, для чего продифференцируем раз ряд (1).

(1)

Все ряды имеют интервалы сходимости . При из полученных тождеств получаем: , , , , …, , … Отсюда находим коэффициенты степенного ряда (1): , , , , …, , … Подставляем полученные значения коэффициентов в ряд (1), получаем

(2)

Ряд (2) называется рядом Тейлора для функции в точке . В частном случае при ряд (2) принимает вид:

(3)

и называется рядом Маклорена.

Таким образом, если функция является суммой степенного ряда, то этот ряд называется рядом Тейлора для функции .

Пусть теперь дана бесконечно дифференцируемая в точке функция . Составим для нее формально ряд Тейлора: .

Совпадает ли сумма полученного ряда Тейлора с функцией , для которой он составлен? Оказывается, не всегда. При каких условиях сумма ряда Тейлора совпадает с функцией, для которой он составлен?

Рассмотрим –ю частичную сумму ряда Тейлора:

(4)

Многочлен (4) называется многочленом Тейлора степени n. Разность называется остаточным членом ряда Тейлора.

Теорема.

Для того, чтобы бесконечно дифференцируемая в точке функция являлась суммой составленного для нее ряда Тейлора, необходимо и достаточно, чтобы .

Можно показать, что остаточный член можно представить в форме Лагранжа:

, где –некоторое число из интервала . Таким образом

(5)

Формула (5) называется формулой Тейлора, а ее частный случай при называется формулой Маклорена:

, где .

 

Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена

1.Разложение функции в ряд Маклорена.

.

.

Составим для функции формально ряд Маклорена:

.

Найдем область сходимости этого ряда при любых x,

следовательно, областью сходимости ряда является промежуток . Заметим, что так как ряд сходится абсолютно, то при любых x и тем более при любых x.

, , тогда Таким образом, имеет место разложение при :

(1)

2. Разложение функции в ряд Маклорена.

Вычислим производные данной функции.

Значение и производных в точке 0: , , , , , …, , .

Исследуем остаточный член ряда. , так как

.

, следовательно, и .

Рекомендуем показать самостоятельно, что областью сходимости ряда является помежуток . Таким образом имеет место разложение при :

 (2)

3. Разложение функции ряд Маклорена.

Дифференцируя ряд (2) получаем разложение при :

 (3)

 

4. Биномиальный ряд.

Разложим в ряд Маклорена функцию , где –любое действительное число. Для этого вычислим производные.

,

,

,

,

При получаем: , , , ,…, ,….

Можно показать, что областью сходимости ряда является промежуток (на концах интервала ряд сходится или расходится в зависимости от конкретного значения ) и что . Таким образом, при имеет место разложение  (4)

Ряд (4) называется биномиальным рядом.

5. Разложение функции в ряд Тейлора.

При функция не определена, поэтому ее нельзя разложить в ряд Маклорена. Разложим ее в ряд Тейлора, например, по степеням . Для этого вычислим приводные.

, , , , …, , ….

При получаем: , , , , , …, , ….

Можно показать, что областью сходимости ряда является промежуток и что . Таким образом, при имеет место разложение:

 . (5)

Замечание. Разложение функций в ряды Тейлора или Маклорена непосредственно часто связано с громоздкими вычислениями при нахождении производных и исследовании остаточного члена. На примерах покажем некоторые приемы, позволяющие избежать этих трудностей.

Пример 1. Разложить в степенной ряд функцию .

В формуле (1) сделаем замену переменной: , получим при

Переобозначим на , получим нужное разложение:

Пример 2. Разложить в степенной ряд функцию .

Очевидно, . Обозначим и воспользуемся биномиальным рядом при .

 

, . (6)

Возвращаясь к переменной , получаем при :

 (7)

Пример 3. Разложить в степенной ряд функцию .

Проинтегрируем обе части разложения (6) от 0 до при :

или

 (8)

Можно показать что ряд (8) имеет область сходимости .

Пример 4. Разложить в степенной ряд функцию .

Проинтегрируем обе части разложения (7) от 0 до при :

или

 (9)

Можно показать, что ряд (9)  имеет область сходимости .


Метод интегрирования по частям