Emporio Armani мужские    часы

Emporio Armani мужские часы

Гуманитарные науки

У нас студенты зарабатывают деньги

 Дипломы, работы на заказ, недорого

Дипломы, работы на заказ, недорого

 Cкачать    курсовую

Cкачать курсовую

 Контрольные работы

Контрольные работы

 Репетиторы онлайн по английскому

Репетиторы онлайн по английскому

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

Математика Примеры решения задач

Примеры вычисления интегралов, задачи на ряды


Свойства степенных рядов

Отметим здесь, без доказательства, три важных свойства степенных рядов.

1.Сумма степенного ряда

(2)

является непрерывной функцией в каждой точке интервала сходимости .

2.Ряд

,

(4)

Рассмотрим некоторые случаи рационализации интегралов, содержащих иррациональные функции.

полученный почленным дифференцированием ряда (2), является степенным рядом с тем же, что и ряд (2), интервалом сходимости . Сумма ряда (4) .

Замечание. Ряд (4) также можно почленно дифференцировать и сумма полученного после этого ряда равна , и так далее. Таким образом, сумма ряда (2) является бесконечно дифференцируемой функцией в интервале сходимости . Сумма ряда полученного из ряда (2) – кратным дифференцированием, равна . Область сходимости степенного ряда при дифференцировании не изменится. Асимптоты При исследовании функции часто приходится устанавливать вид ее графика (а, значит, и характер функции) при неограниченном удалении точки графика от начала координат (при стремлении переменной точки в бесконечность). При этом важным случаем является тот, когда график функции при удалении его переменной точки в бесконечность неограниченно приближается к некоторой прямой.

3. Пусть числа и принадлежат интервалу сходимости ряда (2). Тогда имеет место равенство

(5)

 

Разложение функций в степенные ряды

Пусть функция бесконечно дифференцируема в и является суммой степенного ряда: Управление и планирование являются наиболее сложными функциями в работе предприятий, фирм, служб администраций всех уровней. Долгое время они являлись монополией человека с соответствующей подготовкой и опытом работы. Совершенствование науки, техники, разделение труда усложнили принятие решений в управлении и планировании.

(1)

где –интервал сходимости ряда (1). В этом случае говорят, что функция разлагается в степенной ряд в окрестности точки или по степеням . Определим коэффициенты этого ряда, для чего продифференцируем раз ряд (1).

(1)

Все ряды имеют интервалы сходимости . При из полученных тождеств получаем: , , , , …, , … Отсюда находим коэффициенты степенного ряда (1): , , , , …, , … Подставляем полученные значения коэффициентов в ряд (1), получаем

(2)

Ряд (2) называется рядом Тейлора для функции в точке . В частном случае при ряд (2) принимает вид:

(3)

и называется рядом Маклорена.

Таким образом, если функция является суммой степенного ряда, то этот ряд называется рядом Тейлора для функции .

Пусть теперь дана бесконечно дифференцируемая в точке функция . Составим для нее формально ряд Тейлора: .

Совпадает ли сумма полученного ряда Тейлора с функцией , для которой он составлен? Оказывается, не всегда. При каких условиях сумма ряда Тейлора совпадает с функцией, для которой он составлен?

Рассмотрим –ю частичную сумму ряда Тейлора:

(4)

Многочлен (4) называется многочленом Тейлора степени n. Разность называется остаточным членом ряда Тейлора.

Теорема.

Для того, чтобы бесконечно дифференцируемая в точке функция являлась суммой составленного для нее ряда Тейлора, необходимо и достаточно, чтобы .

Можно показать, что остаточный член можно представить в форме Лагранжа:

, где –некоторое число из интервала . Таким образом

(5)

Формула (5) называется формулой Тейлора, а ее частный случай при называется формулой Маклорена:

, где .

 

Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена

1.Разложение функции в ряд Маклорена.

.

.

Составим для функции формально ряд Маклорена:

.

Найдем область сходимости этого ряда при любых x,

следовательно, областью сходимости ряда является промежуток . Заметим, что так как ряд сходится абсолютно, то при любых x и тем более при любых x.

, , тогда Таким образом, имеет место разложение при :

(1)

2. Разложение функции в ряд Маклорена.

Вычислим производные данной функции.

Значение и производных в точке 0: , , , , , …, , .

Исследуем остаточный член ряда. , так как

.

, следовательно, и .

Рекомендуем показать самостоятельно, что областью сходимости ряда является помежуток . Таким образом имеет место разложение при :

 (2)

3. Разложение функции ряд Маклорена.

Дифференцируя ряд (2) получаем разложение при :

 (3)

 

4. Биномиальный ряд.

Разложим в ряд Маклорена функцию , где –любое действительное число. Для этого вычислим производные.

,

,

,

,

При получаем: , , , ,…, ,….

Можно показать, что областью сходимости ряда является промежуток (на концах интервала ряд сходится или расходится в зависимости от конкретного значения ) и что . Таким образом, при имеет место разложение  (4)

Ряд (4) называется биномиальным рядом.

5. Разложение функции в ряд Тейлора.

При функция не определена, поэтому ее нельзя разложить в ряд Маклорена. Разложим ее в ряд Тейлора, например, по степеням . Для этого вычислим приводные.

, , , , …, , ….

При получаем: , , , , , …, , ….

Можно показать, что областью сходимости ряда является промежуток и что . Таким образом, при имеет место разложение:

 . (5)

Замечание. Разложение функций в ряды Тейлора или Маклорена непосредственно часто связано с громоздкими вычислениями при нахождении производных и исследовании остаточного члена. На примерах покажем некоторые приемы, позволяющие избежать этих трудностей.

Пример 1. Разложить в степенной ряд функцию .

В формуле (1) сделаем замену переменной: , получим при

Переобозначим на , получим нужное разложение:

Пример 2. Разложить в степенной ряд функцию .

Очевидно, . Обозначим и воспользуемся биномиальным рядом при .

 

, . (6)

Возвращаясь к переменной , получаем при :

 (7)

Пример 3. Разложить в степенной ряд функцию .

Проинтегрируем обе части разложения (6) от 0 до при :

или

 (8)

Можно показать что ряд (8) имеет область сходимости .

Пример 4. Разложить в степенной ряд функцию .

Проинтегрируем обе части разложения (7) от 0 до при :

или

 (9)

Можно показать, что ряд (9)  имеет область сходимости .


Метод интегрирования по частям