Emporio Armani мужские    часы

Emporio Armani мужские часы

Гуманитарные науки

У нас студенты зарабатывают деньги

 Дипломы, работы на заказ, недорого

Дипломы, работы на заказ, недорого

 Cкачать    курсовую

Cкачать курсовую

 Контрольные работы

Контрольные работы

 Репетиторы онлайн по английскому

Репетиторы онлайн по английскому

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

Математика Примеры решения задач

Примеры вычисления интегралов, задачи на ряды

Определенный интеграл

Задача о площади криволинейной трапеции

Пусть – непрерывная положительная функция, заданная на отрезке . Фигура, ограниченная кривой прямыми x=a и x=b и осью ОХ, называется криволинейной трапецией (рис.1).

Поставим перед собой задачу вычислить площадь криволинейной трапеции. Для этого разобьем отрезок произвольным образом на n частей. Абсциссы точек деления обозначим . Получим n малых отрезков Обозначим их длины соответственно Для таблично заданной функции (xi, yi) = f(xi), i =0,...,6, решить следующие задачи (далее будем эту функцию обозначать f(x)).

Проведя через точки деления прямые, параллельные оси OY, мы разобьем криволинейную трапецию на n малых криволинейных трапеций. Площадь всей криволинейной трапеции S равна сумме площадей всех малых криволинейных трапеций (рис.2):

или

Но вычислить площади малых криволинейных трапеций не проще, чем площадь большой. Поэтому поступим следующим образом. В каждом из отрезков выберем произвольную точку и каждую малую криволинейную трапецию заменим прямоугольником с тем же основанием и высотой, равной . Получим – площадь каждой малой криволинейной трапеции приближенно равна площади прямоугольника, а площадь всей криволинейной трапеции приближенно равна площади получившейся ступенчатой фигуры: Некоторые модели управления запасами Предприятия, фирмы имеют различные запасы: сырье, комплектующие изделия, готовую продукцию, предназначенную для продажи, и т.д. Совокупность подобных материалов, представляющих временно не используемые экономические ресурсы, называют запасами предприятия.

Очевидно, чем меньше длины отрезков , тем меньше погрешность этого приближенного равенства, поэтому естественно за точное значение площади криволинейной трапеции принять предел площадей ступенчатых фигур при условии, что наибольшая из длин отрезков разбиения стремится к нулю (следовательно, число отрезков разбиения n стремится к бесконечности):

(1)

Определение определенного интеграла

К нахождению предела сумм, аналогичных сумме (1), приводит целый ряд задач естествознания. Поэтому вполне естественно изучить этот процесс независимо от конкретного содержания задачи.

Пусть на отрезке задана функция . Выполним следующие действия.

1.С помощью точек деления разобьем отрезок на n “малых” отрезков где .

2.В каждом из малых отрезков выберем произвольную точку и умножим значение функции в точке на длину соответствующего отрезка:

3.Составим сумму всех таких произведений: или

(2)

Сумма вида (2) называется интегральной суммой для функции на отрезке .

4.Наибольшую из длин малых отрезков обозначим λ и назовем ее шагом разбиения. Пусть число отрезков разбиения неограниченно растет и . Если при этом интегральная сумма имеет конечный предел, который не зависит ни от способа разбиения отрезка на малые отрезки, ни от выбора точек в каждом из них, то этот предел называется определенным интегралом от функции на отрезке и обозначается

Таким образом,

Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, – подынтегральной функцией, x – переменной интегрирования, – отрезком интегрирования (или областью интегрирования).

Функция для которой на отрезке существует определен- ный интеграл называется интегрируемой на этом отрезке.

Имеет место теорема существования определенного интеграла.

Всякая непрерывная на отрезке функция интегрируема на этом отрезке.

Возвращаясь к §1, отметим факт, выражающий геометрический смысл определенного интеграла: определенный интеграл от неотрицательной непрерывной функции численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой прямыми и и осью OX. 

Замечания.

1.Определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования: и т.д.

2.Будем полагать по определению:

3.При введении понятия определенного интеграла мы полагали . В случае примем по определению:

Свойства определенного интеграла

1.

2.

где k=const.

 

.Если отрезок интегрирования разбит на две части и то – свойство аддитивности.

 

Геометрически это значит, что площадь криволинейной трапеции с основанием равна сумме площадей криволинейных трапеций с основаниями и (рис.3).

4.Если на отрезке то

5.Если на отрезке то

Геометрически это значит, что криволинейная трапеция, ограниченная кривой имеет большую площадь, чем криволинейная трапеция, ограниченная кривой (рис.4).

6.Теорема о среднем значении.

Если непрерывна на то существует такая точка что

(3)

Геометрически: криволинейная трапеция равновелика прямоугольнику с тем же основанием и высотой, равной (рис.5).

Значение функции в точке ξ, определяемое равенством (3), называется средним значением функции на отрезке : .

Производная интеграла с переменным верхним пределом

Формула Ньютона–Лейбница

Теорема. Если – какая–либо первообразная для непрерывной функции , то

Доказательство. Пусть –некоторая первообразная функции . Но – также первообразная для , а любые две первообразные данной функции отличаются на постоянную, то есть можно записать:

(4)

Это равенство справедливо для любых . Положим : Но , поэтому , . Полагая в (4) x=b и подставляя значение C, получим Переобозначив переменную интегрирования , получим формулу Ньютона – Лейбница:

При вычислении определенных интегралов будем записывать:

Пример1. (геометрически это площадь фигуры, ограниченной одной полуволной синусоиды и отрезком оси Ox).

Пример2.

Замена переменной в определенном интеграле

Теорема. Пусть дан интеграл , где непрерывна на . Введем новую переменную , связанную с равенством . Если

1)

2) и непрерывны на ,

3) при изменении z от α до β значения не выходят за пределы отрезка то

(5)

Доказательство. Пусть –первообразная для функции , то есть . Тогда по формуле Ньютона–Лейбница

(I)

покажем, что функция является первообразной для функции : =[по правилу дифференцирования сложной функции] = Тогда по формуле Ньютона–Лейбница

(II)

Сравнивая равенства (I) и (II), убеждаемся в справедливости формулы (5).

Пример.

при x=0 при x=ln2

=


Метод интегрирования по частям