Математика Примеры решения задач

Примеры вычисления интегралов, задачи на ряды


 Интегрирование по частям в определенном интеграле

Формула интегрирования по частям в определенном интеграле выводится так же, как и для неопределенного интеграла, и имеет вид

Пример. Рассмотрим понятие предела функции в бесконечности. Определение 6 (предел функции в бесконечности). limx f(x) = A,если

 > 0  B() >0:  x таких, что |x| > B, выполняется |f(x)-A| < 

 

Приложения определенного интеграла

Приведем без вывода основные формулы и примеры геометрических приложений определенного интеграла.

1.Вычисление площади в декартовых координатах.

В книге изложены необходимые основы математического аппарата и примеры его использования в современных экономических приложениях: математический анализ функций одной и нескольких переменных, элементы линейной алгебры, основы теории вероятностей и математической статистики, элементы линейного программирования и оптимального управления. Именно такой объем знаний актуален сегодня для лиц, получающих образование по экономическим специальностям (в том числе и второе образование), и соответствует требованиям государственных образовательных стандартов по экономическим дисциплинам.

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой ( непрерывна), прямыми x=a, x=b и осью Ox (рис.6) равна

(6)

Площадь фигуры, ограниченной кривой ( непрерывна), прямыми x=a, x=b и осью Ox (рис.7) равна

(7)

Площадь фигуры, ограниченной двумя непрерывными кривыми и и прямыми x=a и x=b (рис.8) равн

(8)

Площадь фигуры, ограниченной кривыми и ( и неотрицательны и непрерывны), пересекающимися в точке с абсциссой x=b, прямыми x=a, x=c и осью Ox (Рис.9), равна

 

(9)

 

В случае параметрического задания кривой площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, прямыми x=a, x=b и осью Ox (рис.6) равна

(10)

где и определяются из уравнений на отрезке

Пример1. Найти площадь, ограниченную линиями и .

Предел, непрерывность ФНП ПРИМЕР

Решение. Одна из линий–парабола, другая–прямая (рис.10). Найдем их точки пересечения.

Тогда по формуле (8)

Пример 2. Найти площадь фигуры, ограниченной первой аркой циклоиды , и отрезком оси O x (рис. 11).

Решение. Точкам O и A соответствуют значения параметра и , поэтому

 

 

 

 

2.Вычисление площади в полярных координатах.

Площадь сектора OAB (рис. 12), ограниченного лучами и и кривой , равна    .

Пример. Найти площадь, ограниченную улиткой Паскаля (рис.13).

Решение

.

 

 

3.Вычисление длины дуги.

Если кривая задана параметрическими уравнениями ,

, то длина ее дуги , где –значения параметра, соответствующие концам дуги .

Если кривая задана уравнением , то , где a, b–абсциссы начала и конца дуги .

Если кривая задана уравнением , то , где c, d–ординаты начала и конца дуги .

Если кривая задана уравнением в полярных координатах , то , где –значения полярного угла, соответствующие концам дуги .

Пример 1. Вычислить длину дуги кривой от точки до .

Решение. , тогда .

Пример 2. Найти длину одной арки циклоиды , (рис.11).

Решение. , , тогда .

4.Вычисление объема тела вращения.

Объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции, ограниченной кривой , отрезком оси абсцисс и прямыми (рис.6), вычисляется по формуле

Объем тела, образованного вращением вокруг оси Oy фигуры, ограниченной кривой , отрезком оси ординат и прямыми , вычисляется по формуле .

Пример. Фигура, ограниченная линиями и , вращается вокруг оси Ox. Найти объем тела вращения (рис. 14).

Решение. Искомый объем можно найти как разность объемов, полученных вращением вокруг оси Ox криволинейных трапеций, ограниченных линиями и . Тогда

.


Целительница мужских тел и душ с портала http://prostitutkisaratova.xyz/rajon/zavodskoj/ ждет вас в апартаментах в Заводском районе. | Тайский массаж от проститутки с ресурса http://prostitutkikrasnodara.xyz/intim-uslugi/tajskij-massazh/ разгорячит вашу кровь. Метод интегрирования по частям