Предел функции двух переменных. Непрерывность
δ–окрестностью
точки 
называется внутренность круга радиуса δ
с центром в этой точке.
Иначе говоря, это множество всех точек 
, для которых выполняется неравенство 
, то есть расстояние 
. (рис.16).
Пусть функция z=f(x,y) определена
в некоторой области G плоскости Oxy и точка 
. Вычисление длины дуги кривой. Вычислить длину
дуги кривой: , между точками пересечения с осями координат.
Число A называется
пределом функции 
при стремлении точки к точке , если для любого числа 
найдется такая 
– окрестность точки 
, что для любой точки P из этой окрестности,
кроме, может быть, самой точки 
, имеет место неравенство 
. Пример 8. (Второй замечательный предел) e
= limx (1+1/x)x Как получена данная формула можно найти
в книге Зорича В.А. "Математический анализ" ч.1.
Обозначают:
или 
Для функции трех переменных – окрестностью точки 
является множество всех внутренних точек шара
радиуса с центром в точке , определение предела сохраняется.
Функция нескольких переменных называется бесконечно малой, если ее предел равен нулю.
Правила предельного перехода, установленные для функции одной переменной, остаются справедливыми.
Функция
называется непрерывной в точке , если
1) функция 
определена как в самой точке , так и в некоторой ее окрестности;
2)
существует предел 
;
3) этот предел равен значению функции
в предельной точке: 
.
Условия
(2) и (3) можно заменить равносильным требованием: бесконечно малому расстоянию
соответствует бесконечно малое приращение функции
.
Справедлива теорема:
Если функции
нескольких переменных 
и 
непрерывны в точке , то в той же точке непрерывны и их сумма 
, разность 
, произведение 
и частное 
(последнее–если 
).
Точка называется точкой разрыва функции , если для нее не выполняется хотя бы одно
из трех условий в определении непрерывности.
Точки разрыва данной функции могут располагаться как отдельно (изолированные точки разрыва), так и заполнять целые линии (линии разрыва). Задача. Вычислить определенные интегралы
Например,
функция 
имеет единственную точку разрыва 
, а функция 
–множество точек разрыва, то есть линию разрыва
x+y–1=0.
Областью (открытой областью) называется множество точек плоскости, обладающее свойствами:
каждая точка области принадлежит ей вместе с некоторой окрестностью (свойство открытости);
всякие две точки области можно соединить непрерывной линией, целиком лежащей в этой области (свойство связности).
Точка
называется граничной точкой области G, если
любая окрестность этой точки содержит как точки области G, так и точки, ей не
принадлежащие.
Множество всех граничных точек области называется ее границей.
Если к открытой области присоединить ее границу, то полученное множество точек называется замкнутой областью.
Область называется ограниченной, если можно подобрать круг, полностью ее покрывающий. В противном случае область называется неограниченной.
Функция
называется непрерывной в области G, если она
непрерывна в каждой точке этой области.
Имеет место теорема:
Если
функция непрерывна в ограниченной замкнутой области,
то она в этой области
ограничена: 
;
принимает наименьшее и наибольшее значения (соответственно m и M);
принимает хотя бы в одной точке области любое численное значение, заключенное между m и M.