Графика | |||
Дизайн | |||
Билеты | |||
Типовая | |||
Предел функции двух переменных. Непрерывность
![]()
δ–окрестностью точки
называется внутренность круга радиуса δ с центром в этой точке.
Иначе говоря, это множество всех точек
, для которых выполняется неравенство
, то есть расстояние
. (рис.16).
Пусть функция z=f(x,y) определена в некоторой области G плоскости Oxy и точка
. Вычисление длины дуги кривой. Вычислить длину дуги кривой: , между точками пересечения с осями координат.
Число A называется пределом функции
при стремлении точки
к точке
, если для любого числа
найдется такая
– окрестность точки
, что для любой точки P из этой окрестности, кроме, может быть, самой точки
, имеет место неравенство
. Пример 8. (Второй замечательный предел) e = limx (1+1/x)x Как получена данная формула можно найти в книге Зорича В.А. "Математический анализ" ч.1.
Обозначают:
или
![]()
Для функции трех переменных
– окрестностью точки
является множество всех внутренних точек шара радиуса
с центром в точке
, определение предела сохраняется.
Функция нескольких переменных называется бесконечно малой, если ее предел равен нулю.
Правила предельного перехода, установленные для функции одной переменной, остаются справедливыми.
Функция
называется непрерывной в точке
, если
1) функция
определена как в самой точке
, так и в некоторой ее окрестности;
2) существует предел
;
3) этот предел равен значению функции в предельной точке:
.
Условия (2) и (3) можно заменить равносильным требованием: бесконечно малому расстоянию
соответствует бесконечно малое приращение функции
.
Справедлива теорема:
Если функции нескольких переменных
и
непрерывны в точке
, то в той же точке непрерывны и их сумма
, разность
, произведение
и частное
(последнее–если
).
Точка
называется точкой разрыва функции
, если для нее не выполняется хотя бы одно из трех условий в определении непрерывности.
Точки разрыва данной функции могут располагаться как отдельно (изолированные точки разрыва), так и заполнять целые линии (линии разрыва). Задача. Вычислить определенные интегралы
Например, функция
имеет единственную точку разрыва
, а функция
–множество точек разрыва, то есть линию разрыва x+y–1=0.
Областью (открытой областью) называется множество точек плоскости, обладающее свойствами:
каждая точка области принадлежит ей вместе с некоторой окрестностью (свойство открытости);
всякие две точки области можно соединить непрерывной линией, целиком лежащей в этой области (свойство связности).
Точка
называется граничной точкой области G, если любая окрестность этой точки содержит как точки области G, так и точки, ей не принадлежащие.
Множество всех граничных точек области называется ее границей.
Если к открытой области присоединить ее границу, то полученное множество точек называется замкнутой областью.
Область называется ограниченной, если можно подобрать круг, полностью ее покрывающий. В противном случае область называется неограниченной.
Функция
называется непрерывной в области G, если она непрерывна в каждой точке этой области.
Имеет место теорема:
Если функция
непрерывна в ограниченной замкнутой области, то она в этой области
ограничена:
;
принимает наименьшее и наибольшее значения (соответственно m и M);
принимает хотя бы в одной точке области любое численное значение, заключенное между m и M.
|